III
Коренное отличие современной математики от античной, отличие, которому она обязана своим быстрым развитием и методологическим превосходством, основано всецело на признании ею одного принципа, который античности остался навсегда чуждым: принципа бесконечного. К открытию и установлению его привела не одна, а целый ряд проблем, относящихся к различным отраслям математической науки. В арифметике это была проблема ряда (иррационального числа), в геометрии – проблема касательной, в механике – проблема движения. Все эти проблемы ведут свое начало из древности. Но античная математика не могла дать на них удовлетворительного ответа; она стояла еще целиком на почве Архимедова принципа, по которому объектом математики может быть только то, что доступно точному измерению. Это определение, a limine исключающее из ведения математики бесконечное, раз навсегда отрезало научной мысли античности путь к разрешению целого ряда основных проблем, неразрывно связанных с понятием бесконечности; прежде всего к решению проблемы непрерывного. Раз подчинившись принципу Архимеда, она никогда более не могла выйти за пределы прерывного и дискретного бытия.
Прямо противоположную точку зрения занимает современная математика. Отвергнув безусловную обязательность Архимедова принципа, она не только признала математическую правомерность понятия бесконечного, но вместе с тем провозгласила его руководящим началом, основным методом всех применяемых ею способов счисления. Прежде бесконечное мыслилось как понятие преимущественно отрицательное, уничтожающее и поглощающее в себе определенность (измеримость) конечного. Теперь оно приобрело новое положительное значение: высшего начала, порождающего из себя и определяющего собою мир бесконечного бытия.
Впервые право гражданства в математике было признано за понятием бесконечного Лейбницем, у которого оно и получило в дифференциальном счислении точную математическую формулировку. Правда, первоначально в более узком значении бесконечно малого. Дифференциал, как бесконечно малое, – согласно определению Лейбница, – есть то, что предшествует всякому протяжению, что само еще не есть количество, но вместе с тем уже заключает в себе закономерность всякого количества и всякого протяжения. Новейшие исследования Кантора, Веронезе и др. не только подтвердили, но и значительно расширили и обобщили установленное Лейбницем положение. Они показали, что не только бесконечно малому, но и в такой же мере и бесконечно большому может быть присвоено строго определенное математическое значение, что введение принципа бесконечного в математику значительно расширяет круг доступных ей проблем и открывает ей путь к обнаружению тех основных методологических нитей, которые могли бы связать все ее разрозненные части в одно стройное систематическое целое.