Однако при такой концепции числа остается совершенно непонятным и загадочным, почему реальный смысл математических символов внезапно испаряется, как только мы переступаем границу конечных рациональных чисел, тогда как переходы от одной группы чисел к другим совершаются по имманентным им законам, без всяких скачков, с нигде не нарушаемою непрерывностью. Непонятно также, каким образом эти математические символы, лишенные реального смысла, могут служить точным выражением таких объективных явлений, какие представляют собою пространство, движение в пространстве и т. п. Все эти по существу неразрешимые недоумения возникают, конечно, только в том случае, если исходить из эмпиристического взгляда абстракционной теории, по которому все вообще математические операции в конечном итоге сводятся к счету данных мышлению извне предметов.
Но теория эта, помимо указанного недостатка, страдает еще другим существенным пороком: она предполагает именно то, что подлежит объяснению. В самом деле, самый акт сравнения объектов и определения их сходства оказался бы невыполнимым, если бы в его основу не была положена известная точка зрения, т. е. если бы заранее не было установлено то направление, в котором будет идти процесс сравнивания, тот распорядок, в котором будут располагаться сравниваемые объекты. Вот эта точка зрения, это направление, этот распорядок и есть то логически новое, что не «дается» мысли вместе с отдельными объектами, а осуществляется в познании лишь через посредство самопроизвольного акта самого мышления. Абстракция в процессе образования понятий – момент вторичный и логически несущественный. Ибо задача научного познания – не разобщать общие и единичные признаки объектов, а раскрывать их необходимую связь, не игнорировать индивидуальные различия конкретных явлений, а выводить их из управляющих ими общих законов. Если же ограничить логическую функцию понятия исключительно изолированием общих признаков, то это неизбежно ведет к разрушению внутреннего единства общего и единичного, и все отвлеченные понятия превращаются в подобия каких-то самостоятельных субстанций, которые, с одной стороны, совершенно оторваны от мира действительности, но, с другой стороны, именно ему обязаны всем своим, правда, крайне бедным и неопределенным, содержанием. Для объективного знания подобные субстанциализированные абстракции не могут иметь ни малейшей ценности. Да они никогда и не служили орудием точной науки, и если когда-либо вообще оказывали на нее влияние, то только в отрицательном смысле, как моменты, тормозившие ее внутреннее развитие (как об этом свидетельствуют судьбы понятия бесконечного в истории математики).