Соответственно пусть V>h обозначает текущую ценность ожидаемой в продолжении всей жизни полезности нанятого агента, который, будучи нанятым, играет честно, V>h>u – ожидаемую в течение всей жизни полезность ненанятого честного агента, а V>c>u – ожидаемую в течение всей жизни полезность ненанятого мошенника (который будет играть честно в будущем, если его наймут).
Отметим, что два последних выражения принимают в расчет только доход от следующего периода и всех идущих за ним (т. е. первый период незанятости). Эти ожидаемые в течение всей жизни полезности представляются так:
V>h = W* + δ(1 – т) V>h + tV>h>u, V>i>u = δh>iV>h + δ(1 – h>i)(w̅ + δV>i>u)i = h, c.
Мошенничество однократно дает α + V>c>u. Следовательно, агент не смошенничает, если V>h > α + V>c>u. Замена и перестановка терминов показывает, что наилучшим ответом агента является честная игра, если и только если W ≥ (T − δτH>h)[α /(1 − δH>c) + δw̅(Pc/(1 − δH>c) − τP>h)] = W *, где T = 1 − δ (1 − τ); H>i= h>i /(1 − δ>2(1 − h>i)), i = h, c; P>i = (1 − h>i)/(1 − δ>2 (1 − h>i)), i = h, c. Свойства w можно напрямую вывести из этого выражения, используя тот факт, что h>c≤ h>h. Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы III.2
В условиях многосторонней стратегии наказания вероятность того, что агент, смошенничавший хотя бы раз, будет снова нанят, если он мошенничал или был честным в данный период и стал безработным, составляет h>c>c= h>c>h= 0. Те же самые вероятности в случае агента, который никогда не мошенничал, равны h>c>h= 0 и h>h>h= τM/(A − (1 − τ)M) > 0. Оптимальной оплатой для мошенника является W * = w(., h>h>c= 0, h>c>c= 0), а оптимальная оплата честного агента составляет W>h* = w(., h>h>c > 0, h>c>c= 0).
Следовательно, поскольку h>c≤ h>hдля мошенников и честных агентов, теорема III.2 предполагает, что W>c*> W>h*. Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы III.3
Зададим пределы W *, когда δ стремится к 1, и будем использовать тот факт, что h>c= h>h= τ M/(A − (1 − τ)M) при двусторонней стратегии наказания и h>c = 0, а h>h= τM/(A − (1 − τ) M) при многосторонней стратегии наказания. Используя отношения между W>* и соответствующими параметрами, определенными в теореме III.1, мы получаем соответствующие пределы. Что и требовалось доказать.