– n
>2, y = 2mn, z = m
>2 + n
>2, где m и n – целые числа, причем m > n > 0.
К работам Диофанта имеют непосредственное отношение и математические исследования французского математика Пьера Ферма. Считается, что именно с работ Ферма началась новая волна в развитии теории чисел. И одна из его задач – это знаменитое «уравнение Ферма»: xn + yn = zn. Это уравнение Ферма привел на полях принадлежащей ему книги Диофанта, где он сделал следующую приписку: «Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком узки». Другими словами, уравнение при n > 2 не имеет решений в натуральных числах. Однако в 1995 году она была решена и доказана английским математиком А. Уайлсом.
Формулировка теоремы очень проста, но почему решение этой элементарной задачи вообще может иметь какое бы то ни было значение для науки? Несмотря на простоту формулировки, для решения теоремы были использованы самые совершенные методы современной математики, которая, находясь на стыке с биологией, помогает решить вопросы биологической самоорганизации. Здесь имеется в виду наука, обладающая огромным богатством накопленных результатов; ее основы так же просты, как и основы жизни. Одно может объяснить суть другого. Хорошо известно, как использовать числа при измерении длины. Например, пусть у нас имеются два отрезка на прямой: один маленький, другой больше. Тогда мы можем провести измерение, прикладывая маленький отрезок вдоль большего, определенное число раз. Казалось бы, очевидно, что если мы приложим маленький отрезок достаточно большое число раз, то сможем достичь границы большого отрезка и затем превзойти ее. На самом деле это утверждение не только не очевидно, но и не может быть доказано. Оно формулируется как независимое утверждение и называется аксиомой измеримости Архимеда. Аксиома Архимеда имеет место в обычной эвклидовой и римановой геометрии, которые используются для описания пространственно-временного континуума в специальной и общей теории относительности.
Однако, в конце ХIX века было обнаружено, что могут существовать неархимедовы геометрии. Они обладают очень непривычными свойствами. Для координатного описания обычной архимедовой (как части эвклидовой) геометрии используются обычные вещественные числа (то есть бесконечные десятичные дроби). Для координатного описания неархимедовой геометрии используются р-адические числа. Для каждого простого числа р определяется континуальное семейство р-адических чисел. Все обычные натуральные и дробные числа являются также и р-адическими, но, кроме того, имеются также и р-адические числа, которые не сводятся к обычным вещественным. Р-адическая геометрия выглядит странно. Например, каждая точка р-адического шара точек, либо один шар содержится в другом (как две капли ртути). Однако эта странная геометрия хорошо приспособлена для описания иерархических структур. Живые существа и биологические системы как раз и являются сложными иерархическими структурами. Причина эта заключается в следующем. Р-адический шар обладает естественной иерархической структурой. Он состоит из конечного числа шаров меньшего радиуса без пустот. Иерархические структуры объясняют связь биологических законов и чисел. Они являются квазисистемой, связывающей натуральные числа и живое, или, точнее, производят переход геометрии в материю.