, следовательно, они подобны. Вследствие этого их площади пропорциональны
a²
, b²
, c² в порядке от самого маленького к самому большому. Но так как два меньших треугольника составляют большой треугольник, соответствующие площади также должны суммироваться, поэтому
И теорема Пифагора тут как тут!
Прекрасная насмешка состоит в том, что теорема Пифагора может быть использована, чтобы подорвать его доктрину о том, что число есть сущность всех вещей. Такой возмутительный вывод следует из одного открытия пифагорейской школы, которое приписывали не Пифагору, а его ученику Гиппаcу. Вскоре после того, как он сделал это открытие, Гиппаc утонул в море. Не известно, была ли его смерть вызвана волей богов или волей пифагорейцев. Доказательство Гиппаcа очень хорошо продумано, но не является слишком сложным. Давайте с ним ознакомимся.
Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники, у которых два катета равны, т. е. a = b. Теорема Пифагора гласит, что 2 × a² = c².
Теперь предположим, что длины сторон а и с выражаются целыми числами. Если все вещи – числа, то лучше бы это было так! Но выясняется, что это невозможно. Если и а, и с – четные числа, мы можем рассмотреть подобный треугольник, составляющий половину от размера первоначальной фигуры. Мы можем продолжать уменьшать его каждый раз в два раза, пока не получим треугольник, где по крайней мере одно из значений (а или с) является нечетным.
Но какой бы выбор мы ни сделали, мы быстро достигнем противоречия. Вначале давайте предположим, что с выражается нечетным числом. Тогда c² также является нечетным. Но 2 × a² явно дает четное число, поскольку содержит множитель 2. Таким образом, у нас не получается равенства 2 × a² = c², как гласит теорема Пифагора. Противоречие!
Предположим тогда, что с выражается четным числом, – скажем, с = 2 × p. Тогда c² = 4 × p². Теорема Пифагора говорит нам (после того, как мы разделим обе части равенства на 2), что a² = 2 × p². Следовательно, а не может выражаться нечетным числом – по тем же причинам, что и выше. Противоречие!
Таким образом, все-таки не все вещи могут быть выражены целыми числами. Не может существовать никакого атома длины, из которого могут быть выведены все возможные длины как произведение целого числа на этот самый атом.