Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - заметки

Об этих трех мирах Пенроуз замечательно пишет в книгах «Новый ум короля» и «Путь к реальности».

К этой статье мы еще не раз вернемся на страницах нашей книги.

О законе Харди-Вайнберга в контексте см., например, Hedrick 2004.

Этот алгоритм тогда был засекречен, а впоследствии получил название RSA в честь Р. Ривеста, А. Шамира и Л. Адлемана из Массачусетского технологического института, которые независимо придумали его несколько лет спустя. См. Rivest, Shamir, and Adleman 1978.

Научно-популярные книги о симметрии и теории групп и о хитросплетениях их истории – «The Equation That Couldn’t Be Solved» (Livio 2005), Stewart 2007, Ronan 2006 и Du Sautoy 2008.

Чудесный популярный рассказ о возникновении теории хаоса см. в Gleick 1987.

Превосходное, хотя и сугубо научное описание этой задачи и ее решений можно найти в книге Applegate et al. 2007.

Популярное изложение пифагорейского учения см. в книге Strohmeier and Westbrook 1999.

О поразительных свойствах чисел превосходно рассказано в Wells 1986.

Подробно об истории и значении этого термина и о том, что означало это слово в разное время, см. Heath 1921. Математик Теон Смирнский (ок. 70–135 гг.) употреблял это слово применительно к фигурному выражению чисел, о чем говорится в его трактате «Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона» (Theon of Smyrna ca. 130 AD).

Обратите внимание, что в этом комментарии Прокл ничего не говорит о собственных представлениях о том, был ли Пифагор первым, кто сформулировал эту теорему. История о быке упоминается в трудах Диогена Лаэрция, Порфирия и историка Плутарха (ок. 46–120 гг.). Все эти рассказы восходят к Аполлодору. Однако там говорится лишь о каком-то «знаменитом утверждении» и не уточняется, о каком именно утверждении идет речь. См. Laertius ca. 250 AD, Plutarch ca. 75 AD.

Такая космология основана на идее, что реальность возникла из Вещества (которое считалось неопределенным), подвергшегося воздействию Формы (то есть предела).

О вкладе пифагорейцев в научный прогресс и об их влиянии см. Huffman 1999, Riedweg 2005, Joost-Gaugier 2006, а также Huffman 2006 в Stanford Encyclopedia of Philosophy.

В рамках настоящей книги я не обсуждаю темы наподобие трансфинитных чисел и трудов Кантора и Дедекинда. Об этом прекрасно рассказано в популярных книгах Aczel 2000, Barrow 2005, Devlin 2000, Rucker 1995 и Wallace 2003.

Из одних названий книг и статей о Платоне можно, разумеется, составить целый том. Приведу лишь несколько трудов, которые представляются мне весьма познавательными. О Платоне вообще – Hamilton and Cairns 1961, Havelock 1963, Gosling 1973, Ross 1951, Kraut 1992. О Платоне и математике – Heath 1921, Cherniss 1951, Mueller 1991, Fowler 1999, Herz-Fischler 1998.

Речь была написана в 362 году н. э., однако о содержании надписи в ней ничего не говорится. Сам текст обнаружен в заметке на полях рукописи Элия Аристида. Заметка, вероятно, сделана оратором Сопратом, жившим в IV веке. Она гласит: «На фронтоне Платоновой школы было написано: “Не геометр да не войдет!”. Это вместо “несправедливый” или “нечестивый”, поскольку геометрия стремится к честности и справедливости». Видимо, из этой заметки следует, что слова «не геометр» заменяли у Платона слова «несправедливый или нечестивый человек» в надписи, которую обычно помещали над входом в святилища («Нечестивый да не войдет!»). Впоследствии эту историю рассказывали целых пять александрийских философов VI века, и она попала даже в книгу «Хилиады» эрудита XII века Иоанна Цеца (ок. 1110–1180). Подробнее об этом см. Fowler 1999.

Обзор многих безуспешных археологических попыток найти Академию дан в Glucker 1978.

Интересное обсуждение см. в Stewart 1905.

Интересное обсуждение платонизма и его места в философии математики см. в книгах Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell 1945, Tait 1996. Превосходное популярное изложение можно найти в Davis and Hersh 1981, Barrow 1992.

Платон рассуждает об астрономии и движении планет в «Государстве» (Plato ок. 360 до н. э.), в «Тимее» и в «Законах». Следствия точки зрения Платона обсуждаются в Vlostos 1975 и Mueller 1992.

Это упомянуто в комментариях математика Евтокия (ок. 480–540) к сочинению Архимеда «Измерение круга»; см. Heiberg 1910–15.

Год рождения Архимеда определен на основании «Хилиад» византийского автора XII века Иоанна Цеца.

Римский архитектор Марк Витрувий Поллион (I в. до н. э.) приводит этот анекдот в своем трактате «De Architectura» (Vitruvius I century BC.) Он пишет, что Архимед погрузил в воду слиток золота и слиток серебра – оба точно такого же веса, что и венец. Таким образом, он обнаружил, что венец вытесняет больше воды, чем золото, но меньше, чем серебро. Легко показать, что разница объемов вытесненной воды позволяет рассчитать соотношение веса золота и серебра в венце. То есть, вопреки некоторым распространенным версиям легенды, Архимеду не пришлось прибегать при решении задачи о венце к законам гидростатики.

Томас Джефферсон в письме Жозе Коррея да Серра в 1814 году писал: «Хорошее мнение общества, подобно рычагу Архимеда, движет миром, стоит лишь найти верную точку опоры». Лорд Байрон упоминает об утверждении Архимеда в «Дон-Жуане». Кеннеди вставил эту фразу в свою предвыборную речь, которая цитировалась в «Нью-Йорк Таймс» 3 ноября 1960 года. Марк Твен приводит ее в статье «Архимед» (1887).

В октябре 2005 года группа студентов Массачусетского технологического института попыталась воспроизвести эту установку и сжечь корабль при помощи зеркал. Результаты оказались неубедительными: студенты сумели поддержать огонь на загоревшемся участке, но крупный пожар устроить не удалось. Похожий эксперимент, проведенный в Германии в сентябре 2002 года, показал, что поджечь корабельный парус при помощи 500 зеркал в принципе возможно. Подробнее о поджигательных зеркалах можно прочитать на сайте Михаэля Лаханаса http://www.mlahanas.de/.

Эти слова Архимеда упомянуты в «Хилиадах» Цеца, см. Dijksterhuis 1957. Плутарх просто говорит, что Архимед отказался следовать за воином к Марцеллу, пока не решит задачу, которой был поглощен (Plutarch ca. 75 AD).

Прекрасная книга о трудах Архимеда – «The Works of Archimedes» (Heath 1897). Кроме того, великолепные обзоры приведены в Dijksterhuis 1957 и Hawking 2005.

Чудесное описание истории проекта «Палимпсест» дано в Netz and Noel 2007.

Уилл Ноэл, директор проекта, устроил мне встречу с Уильямом Кристенсом-Барри, Роджером Истоном и Кейт Нокс. Эта группа разработала узкополосную систему построения изображений и придумала алгоритм, при помощи которого можно хотя бы отчасти выявлять текст. Методы обработки изображений разрабатывали также Анна Тонаццини, Луиджи Бедини и Эмануэле Салерно.

Прекрасный рассказ об истории и значении интегрального и дифференциального исчисления см. у Berlinski 1996.

Cicero 1st century BC. Научный анализ текста Цицерона, его структуры, риторических особенностей и символизма см. у Jaeger 2002.

Авторитетная современная биография – S. Drake, «Galileo at Work» (Drake 1978). Более популярное изложение – J. Reston, «Galileo: A Life» (Reston 1994). См. также Van Helden and Burr 1995. Полное собрание сочинений Галилея (на итальянском языке) – Favaro 1890–1909.

Из трактата «La Bilancetta» («Маленькое равновесие»), Galilei 1586

Galileo 1589–1592 (Galilei 1600a and Galilei 1600b). Ч. Б. Шмитт предполагает (Schmitt 1969, вслед за D. A. Maklich), что утверждение Галилея может быть результатом того, что рука, держащая свинцовый шар, устает сильнее, чем рука, держащая деревянный шар, а поэтому разжать пальцы и бросить деревянный шар получается быстрее. Прекрасный обзор верных идей Галилея относительно падающих тел приводят Frova and Marenzana 1998 (перевод на английский вышел в 2006 году). Великолепный рассказ о физических воззрениях Галилея можно найти в Koyré 1978.

Подробный разбор методов и мыслительного процесса Галилея можно найти в Shea 1972 и в Machamer 1998.

Galileo 1589–1592. Галилей выступает со всесторонней критикой Аристотеля в трактате «De Motu». См. Galilei 1600a, b.

Биография Виргинии, которая впоследствии была известна как сестра Мария-Селеста, замечательно изложена в книге Dava Sobel, «Galileo’s Daughter» (Sobel 1999).

Galilei 1610 a, b. Прекрасное описание работы над созданием телескопа можно найти в Reeves 2008.

Swerdlow 1998. Подробнее об открытиях, которые Галилей сделал при помощи телескопа, см. Shea 1972, Drake 1990.

Популярное и весьма увлекательное описание открытий Галилея, а также история телескопа в целом изложены в Panek 1998.