Решение. 1) Нельзя. Контрпример очевиден: пусть у Миши 5 (или любое другое натуральное число) одноклассников, которым двенадцать лет, и 20 (или любое другое натуральное число) тринадцатилетних одноклассников. Тогда А истинно, а Б ложно.
2) Как ни странно, тоже нельзя! Для построения контрпримера предположим, что Мише три года, и никаких одноклассников у него вообще нет. Верно ли утверждение Б? Верно! Кто не согласен, пусть предъявит контрпример – Мишиного одноклассника другого возраста. А утверждение А, означающее, что существует хотя бы один Мишин двенадцатилетний одноклассник, неверно.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.5. Землянин Вася сказал: «Все марсиане лжецы». Прав ли Вася?
Задача 3.6. Есть 30 гирек, которые весят 1 г, 2 г, 3 г, …, 30 г. Можно ли разложить их: 1) на две кучки одинакового веса; 2) на три кучки одинакового веса?
Задача 3.7. 1) Можно ли заполнить таблицу 3x3 натуральными числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четным числом, а в каждом столбце – нечетным? 2) А таблицу 4x4?
Задача 3.8. Верно ли, что периметр любого четырехугольника, целиком находящегося внутри данного квадрата, меньше периметра этого квадрата?
Задача 3.9. Верно ли, что все числа вида 2>n + 15, где n – натуральное число, простые?
Задача 3.10. Рассмотрим натуральные числа, в записи которых нет нулей.
1) Найдется ли среди них десятизначное число, делящееся на сумму своих цифр?
2) А стозначное?
Задача 3.11. 1) Какие из высказываний А – Д означают одно и то же?
2) Будем считать высказывание А истинным. Какие из других высказываний в таком случае наверняка истинны?
А: Дед Мороз – волшебник.
Б: Существует хотя бы один дед-волшебник.
В: Существует ровно один дед-волшебник.
Г: Некоторые деды – волшебники.
Д: Некоторые волшебники – деды.
Задача 3.12*. Найдите ошибку в рассуждениях.
«Рассмотрим три высказывания:
А: Существует хотя бы один дед-волшебник.
Б: Дед Мороз – волшебник.
В: Все деды – волшебники.
Можно ли утверждать, что если верно В, то верно и А? Нет: контрпримером является ситуация, когда множество дедов пусто (аналогично задаче про Мишиных одноклассников).
С другой стороны, если верно В, то верно и Б (иначе Дед Мороз служил бы контрпримером к высказыванию В). Но если верно Б, то верно и А (для доказательства существования достаточно привести пример, в данном случае Дед Мороз – пример). Итак, если верно В, то верно и А».