В примерах, рассмотренных в § 1.1 мы делали подстановки конкретных значений вместо переменных. При этом логическая форма рассуждения, как мы обратили внимание, оставалась неизменной. Это дает нам первую, простейшую и фундаментальную классификацию символов, используемых в формализованном языке.
Во-первых, это логические символы, которые задают логическую форму и должны оставаться постоянными. Во-вторых, нелогические – они должны обозначать элементы содержательного характера, которые допускают замену: президенты, города, числа и т. п. Такие символы обычно выступают в качестве переменных. В-третьих, для построения выражения языка требуются вспомогательные (технические) символы, которые сами по себе ничего не обозначают.
Некоторые основные понятия семантики
Некоторые базисные принципы логической семантики были заложены в работах Г. Фреге. В центре его внимания оказались семантические свойства категории «Имя». По его мнению, имя имеет две характеристики: смысл и значение. Значение – то, на что имя указывает, это предмет, для обозначения которого служит имя. Смысл – это информация, сообщаемая именем. Благодаря тому что имя имеет смысл, мы его понимаем. Принято говорить, что имя выражает смысл и указывает на значение. При этом не всякое имя, обладающее смыслом, имеет и значение. Таковы литературные персонажи, сказочные и мифические герои, а также выражения вида «круглый квадрат» и «самое большое натуральное число». Последние являются осмысленными – ведь именно благодаря этому мы их понимаем; в частности, мы понимаем, что предмета, обозначенного подобным именем, существовать не может. Таким образом, имя указывает на объект при посредстве смысла; при этом, двигаясь из пункта «имя» в пункт «значение», можно застрять в пункте «смысл» и не добраться до цели. Поэтому линия между именем и его значением на рис. 1.1 проведена пунктиром.
Рис. 1.1
Тот факт, что один и тот же предмет может обозначаться разными именами, возможен благодаря тому, что эти имена имеют одинаковые значения, но разные смыслы. Поэтому, считает Фреге, различение смысла и значения позволяет объяснить, почему мы можем ставить знак равенства в выражении «А = В», хотя А и В суть разные вещи. Мы вправе делать это тогда, когда А и В имеют одинаковые значения, несмотря на то что они имеют разные смыслы. Больше того, на этом основании мы вправе заменять А и В друг на друга, сохраняя при этом уверенность, что значение более сложного выражения, в рамках которого производится такая замена, не изменится.