В технике, и особенно в математике, к конечному результату можно прийти при помощи пошаговых инструкций. Рассмотрим пример: посередине пшеничного поля воткните в землю кол и привяжите к нему веревку. Возьмите другой ее конец и пройдите несколько метров, чтобы веревка натянулась. Затем идите направо, сохраняя натяжение. Таким образом можно начертить простейшую окружность. Некоторые структуры гораздо легче создать по инструкциям, чем по чертежам. Если у вас есть под рукой карандаш и бумага, попробуйте по приведенным ниже инструкциям начертить геометрическую фигуру под названием «салфетка Серпинского».
1. Начертите равносторонний треугольник с горизонтальным основанием. Чем больше он будет, тем лучше. Будем считать его «исходным треугольником».
2. Внутри данного треугольника проведите три отрезка. Каждый из них должен проходить из середины каждой стороны в середину смежной. Эти отрезки образуют перевернутый треугольник, занимающий четверть площади исходного.
3. Заштрихуйте полученный треугольник.
4. Теперь вы видите три незаштрихованных треугольника внутри исходного. Проделайте с каждым из них те же операции, что и с исходным треугольников, начиная с пункта 2.
5. (Продолжайте, пока вам не надоест: если вы вооружены хорошим карандашом, это занятие может длиться вечно.)
«Салфетка Серпинского» (благодаря заштрихованным областям чертеж напоминает ажурное вязание) – пример фрактальной структуры. При любом увеличении мы получим одно и то же изображение. Еще один пример фрактала – «множество Кантора». Его удобнее всего рисовать на поверхности, с которой легко стирать. Подойдет школьная доска. Нарисуйте линию, затем сотрите ее среднюю треть, после этого сотрите средние трети двух полученных линий, и так далее. Через некоторое время вы получите множество точек, расположенных через определенные интервалы. Статистические свойства этих интервалов идентичны свойствам многих природных явлений, будь то осыпание песка с бархана или промежутки между каплями воды из подтекающего крана, землетрясениями, эпидемиями и случаями массового вымирания животных.
Пошаговые инструкции, а не эскизы используются для создания объектов не только в математике, но и в повседневной жизни; простейший пример – кулинарный рецепт. По такому же принципу работает и текстильное производство, от ручного вязания («одну петлю провязываем, одну накидываем») до «жаккардовой машины» (1801 г.), первого в мире промышленного робота, на котором можно было, меняя перфокарты, переключать уровни сложности от простейшего до самого сложного узора. Музыка также воспроизводится благодаря инструкциям, роль которых выполняют нотные знаки на нотном стане, по которым музыкант может воспроизводить звуки необходимой высоты и продолжительности в нужный момент времени.