О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний - страница 52

Компьютерные модели могут производить прекрасные визуальные представления, позволяющие составить понятие о чувствительности различных систем к начальным условиям. Рядом с игральной костью из Лас-Вегаса у меня стоит классическая настольная игрушка, в которую я могу играть часами. Она состоит из металлического маятника, который притягивают три магнита, выкрашенные в белый, черный и серый цвет. Анализ динамики этой игрушки дает картинку, которая отражает конечное положение маятника при движении из всех точек квадратного основания игрушки. Покрасим точку белым, если маятник, запущенный из этой точки, в конце концов оказывается притянут к белому магниту. Точно так же покрасим серым или черным точки, из которых маятник попадает на серый или черный магнит. Получится вот такая картинка:

Как и в случае популяционной динамики, тут есть совершенно предсказуемые области. Если движение маятника начинается вблизи одного из магнитов, к этому магниту маятник и притягивается. Но по мере приближения к краям картинки мы оказываемся на гораздо менее предсказуемой почве. И действительно, такая картинка дает нам пример фрактала.

На ней есть участки, на которых не существует простого перехода от черного к белому. Если увеличивать изображение, картинка никогда не станет областью, заполненной одним цветом. Сложность рисунка сохраняется на всех масштабах.

Одномерный пример такой картинки можно соорудить следующим образом. Начертим отрезок единичной длины и для начала закрасим одну его половину черным, а другую – белым. Затем возьмем половинный участок между точками 0,25 и 0,75 и перевернем его. Теперь возьмем половину перевернутого участка, расположенную в его середине, и перевернем ее еще раз. Если повторять эту операцию до бесконечности, предсказанное поведение вокруг точки 0,5 становится чрезвычайно чувствительно к малым изменениям. Не существует такого участка, содержащего точку 0,5, который был бы закрашен одним цветом.

Существует более замысловатый вариант этой картинки. Возьмем снова отрезок единичной длины. Сотрем центральную треть отрезка. У нас остались два черных отрезка, разделенные белым промежутком. Сотрем теперь центральную треть каждого из черных отрезков. Получаем черный отрезок длиной 1/9, белый отрезок длиной 1/9, черный отрезок длиной 1/9, затем белый отрезок длиной 1/3, который был стерт на первом шаге, а потом опять: белый – черный – белый.