О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний - страница 66

, длина окружности единичного диаметра, – они тоже не были равны отношениям целых чисел. Хотя иррациональность квадратного корня из 2 была известна древним грекам еще 2000 лет назад, только в XVIII в. швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт смог доказать, что число π тоже не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.

Несмотря на мое отвращение к тому, чего мы знать не можем, один из определяющих моментов, возбудивших во мне любовь к математике, наступил, когда я прочитал о числах, которые не могут быть выражены простым отношением целых чисел. В том же году, когда учитель музыки познакомил меня с трубой, лежавшей в шкафу, учитель математики познакомил меня с доказательством иррациональности квадратного корня из 2. Это доказательство содержалось в одной из книг, которые учитель посоветовал мне прочесть, пытаясь разжечь во мне математическое пламя. И это ему удалось. Я был поражен тем, что при помощи конечного логического рассуждения можно доказать, что размер, подобный длине диагонали квадрата, может быть выражен лишь числом с бесконечным количеством знаков. А если записать такую длину невозможно, мне нужно хотя бы понять, почему это число нельзя познать.

С тех пор как я школьником прочитал это доказательство, я узнал о других методах исследования иррациональных чисел, так что, может быть, эти числа все-таки познаваемы. Существуют бесконечные выражения с регулярной структурой, позволяющие сделать такие числа менее таинственными. Например,

Открытие таких выражений выводит иррациональные числа в область известного. Дробь представляет собой число, которое при десятичной записи повторяется начиная с некоторой точки. Нельзя ли рассматривать такие выражения как структуру, не слишком отличную от повторяющейся группы десятичного представления дроби? Наличие такой повторяющейся группы означает, что существуют два числа, отношение которых дает значение данного числа, тогда как в случае 2 и π я вынужден использовать для выражения этих длин бесконечное число чисел. Вопрос о том, обязательно ли известное должно быть конечным, будет постоянно преследовать меня в течение всего моего путешествия к границам неизвестного.

Разумеется, для любого практического применения таких чисел мне, вероятно, хватит и приближения, выраженного дробью. Большинство инженеров вполне успешно использует вместо числа