Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - страница 9
Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 1³?
Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. – числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. – треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,
Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но в главе 6 пару доказательств увидим.
Как быстро считать в уме
Среди читателей наверняка найдутся те, кто, познакомившись с этими примерами, скажет: «Ух ты, здо́рово! Но какая от всего этого польза?» Здесь в любом математике проснулся бы художник, и в ответ вы услышали бы: «Разве нужно красоте оправдание иное, нежели сама красота?» Ведь чем лучше мы понимаем числовые закономерности, тем глубже постигаем их красоту. И все-таки иногда они приносят практическую пользу.
Вот простая закономерность, которую мне посчастливилось обнаружить в юности (даже если я и не был первооткрывателем). Я смотрел на пары чисел, которые в сумме давали 20 (10 и 10, например, или 9 и 11), и думал, а какие из них надо перемножить, чтобы получить наибольшее произведение? Логика подсказывала, что это 10 на 10, и моя схема эта подтвердила.
Эта закономерность была несомненна. Чем дальше отстояли друг от друга числа, тем меньше становилось произведение. И насколько они отдалялись от 100? На 1, на 4, на 9, 16, 25… То есть на 1², 2², 3², 4², 5² и т. д. А потом мне стало интересно, работает ли эта закономерность для чисел, дающих другую сумму. Я решил попробовать 26:
И я снова увидел, что наибольшее произведение дало умножение двух одинаковых чисел. А потом произведение стало уменьшаться с интервалом сначала 1, потом 4, потом 9 и т. д. Еще несколько подобных примеров убедили меня, что закономерность была строгой (ее алгебраическое выражение я покажу чуть позже). Выяснил я и то, что ее можно применять для быстрого возведения чисел в квадрат.
Допустим, нам нужно знать квадрат 13. Вместо того чтобы умножать 13 × 13, можно сделать умножение попроще: 10 × 16 = 160. До правильного ответа уже рукой подать, и чтобы его получить, достаточно будет прибавить возведенное в квадрат 3 – число, составляющее разницу между 13 и числами, которые мы перемножили. То есть: