Как не ошибаться. Сила математического мышления - страница 26
Почему такие рассуждения столь распространенны? Ведь даже малейшее умственное усилие с нашей стороны позволит осознать их ошибочность. Почему вообще у кого бы то ни было может хотя бы на мгновение возникнуть мысль, что все линии прямые, когда совершенно очевидно обратное?
Одна из причин заключается в следующем: в каком-то смысле они действительно прямые. История эта начинается с Архимеда.
Метод исчерпывания
Чему равна площадь данного круга?
В современном мире это настолько стандартная задача, что ее можно включать в SAT[54]. Площадь круга равна πr>2, а в нашем случае радиус равен 1, значит, площадь этого круга равна π. Однако две тысячи лет назад вопрос был открытым и настолько важным, что привлек внимание Архимеда.
Почему вопрос площади окружности оказался настолько сложным? Во-первых, на самом деле древние греки не считали π числом, как считаем мы. В их понимании все числа были целыми, то есть такими, с помощью которых можно что-то подсчитать: 1, 2, 3, 4… Однако теорема Пифагора[55] – первый большой прорыв в древнегреческой геометрии – превратила всю их систему счисления в руины.
Перейдем к следующему рисунку.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы (сторона прямоугольного треугольника, которая нарисована здесь по диагонали и не проходит через прямой угол) равен сумме квадратов двух других сторон, или катетов. В данном примере квадрат гипотенузы равен 1>2 + 1>2 = 1 + 1 = 2. Это означает, что гипотенуза длиннее 1, но короче 2. Проверяется без всяких теорем – просто на глаз. Сам факт, что длина гипотенузы не представляет собой целое число, не был проблемой для древних греков. Может быть, мы просто измеряли все не в тех единицах. Если мы выберем такую единицу длины, чтобы длина катетов была равна 5 единицам, тогда вы с помощью линейки легко проверите, что в таком случае длина гипотенузы составит почти 7 единиц. Почти – но все-таки немного больше, поскольку квадрат гипотенузы равен:
5>2 + 5>2 = 25 + 25 = 50,
но если длина гипотенузы составляла бы 7 единиц, квадрат гипотенузы был бы равен 49.
А если мы взяли бы катеты длиной 12 единиц, длина гипотенузы была бы равна почти 17 единиц, но все же немного короче, поскольку 12>2 плюс 12>2 равно 288, что незначительно меньше чем 17