Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов - страница 11
8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи Солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с расстоянием её от Солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть её поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда (при так называемом «иззаоблачном сиянии», см. рис. 4) лучи Солнца, расходящиеся веером, – не более, как следствие перспективы.
Рис. 7
В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов (рис. 7) или вид длинной аллеи.
Однако из того, что лучи Солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по длине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 8, вы поймёте, что полная тень дирижабля в пространстве суживается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть короче самого дирижабля: СВ меньше, чем АВ.
Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 1000 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС и BD между собою, равен тому углу, под которым усматривается Солнце с земли; угол этот известен: около ½ °, С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в ½°, удалён от глаза на 115 своих поперечников. Значит, отрезок MN (этот отрезок усматривается с земной поверхности под углом в ½°) должен составлять 115-ю долю от АС?. Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 1000 м) составляет около 1400 м, и, следовательно, отрезок MN равен
Рис. 8
Но избыток длины дирижабля над длиною тени, то есть отрезок МВ, больше MN, а именно больше в 1,4 раза, потому что угол MBD почти точно равен 45°. Следовательно, МВ равно 12 × 1,4; это даёт почти 17 м.