Современная аксиоматика – кладезь семантических некорректностей и ошибок. Многие аксиоматические несуразности при использовании теории понятий не проявляются.
Теория понятий основана на использовании наивной теории множеств Георга Кантора для формализации применения мышления в теоретических науках. Теория понятий считает, что теория множеств Г. Кантора представляет технологию диалектического мышления, теорию понятий, теорию типов данных и вообще все диалектически мыслимые теории от теории чисел и до теории понятий включительно. Мышление не алгоритмично, но диалектично [7]. Теория понятий считает, что теория множеств представляет технологию развития, совершенствования всего, не исключая и себя.
Предложив определение понятия множества, Кантор заложил фундамент конструктивной математики. И даже заложил фундамент конструктивного логичного мышления. Теория понятий – это теория, в которой используется, применяется логика, в которой вместо неопределяемых аксиом используются, применяются определения. Точнее, определения считаются аксиомаитическими, аксиомами на том основании, что определение не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Определение определения в теории понятий предлагается. Правильность определений не обсуждается. Определение определяет то, что оно определяет. Вся внеаксиоматическая математика в ее современном состоянии зиждется на определении понятия множества. Конструктивная математика отличается от традиционной, интуитивно-аксиоматической математики не только основополагающими понятиями. Безаксиоматическая математика, основанная на использовании семантических определений, называется в теории понятий метаматематикой. Теория понятий – это надстройка над математикой, обеспечивающая, в частности, формализацию постановки математических задач.
В конструктивной математике могут быть определены и представлены не только операции, функции и отношения. Определение Кантором понятия множества может быть использовано для определения, создания, построения неких новых сущностей, являющихся обобщением используемых понятий, в частности понятия отношения семантических понятий.
В теории понятий понятия алгоритма и функции не тождественны. Они находятся в некотором семантическом отношении: алгоритм представляет функцию. Понятие алгоритма является обобщением понятия функции.