Обозначим высказывания буквами А, В, С, … Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.
Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».
Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 – простое число» и «Москва – большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 – простое число, и Москва – большой город», поскольку составляющие ее высказывания не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.
Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».
Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на „Пиковую даму“ или на „Аиду“» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании «Он учится в Московском или Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.