Для содержательной логики парадокс свидетельствует о необходимости выработки некоторых новых различений смысла. После того как такое различение выработано, построение формальной системы, учитывающей это различение, может быть осуществлено в духе принципа 1 и является технической задачей. Каковы бы, однако, ни были смысловые различения в рамках логической семантики, лежащей в основе некоторой формальной системы, могут найтись выражения не интерпретируемые в рамках этой семантики, т.е. воспринимаемые как парадокс. Такие случаи должны служить побудительным мотивом не просто для построения новых формальных систем, в которых подобные парадоксы не появляются, но и, главным образом, для прояснения и уточнения семантики понятий, на которой строится парадокс. Без разработки новой семантики оперирование с формальными системами превращается в некий род «гадания», т.е. в средство стимулирования интуиции.
Мы видим, таким образом, что на первый план в исследованиях по формальной логике выдвигается вопрос о зависимости доказательных возможностей формальной системы от ее выразительных средств, т.е. от ее базисной семантики и эксилицированных в рамках построенного формализма различений смысла.
Парадоксы логического вывода
Мы можем констатировать, что в основе построения формальной логики лежит идея, состоящая в том, что строгость в рассуждениях может быть достигнута упрощением семантики и неполным различением используемых смыслов, но скомпенсированных механичностью вывода. При этом под правилами вывода понимаются правила знаковой подстановки.
Существенное упрощение семантики знака импликации как истинностной таблицы по сравнению с его естественно-языковой интерпретацией «если – то» немедленно привело к появлению парадоксов материальной импликации, замеченных Льюисом и с тех пор многократно обсуждаемых. Однако все эти обсуждения касались в основном построения формальных систем с правилами логического следования, уничтожающими парадоксы материальной импликации, и лишь в малой степени касались вопросов собственно семантических. Так, например, неклассическая теория логического следования, рассмотренная в «Общей теории логического следования» [Сидоренко, 1973] рассматривает высказывания как логические атомы, обладающие истинностными значениями «истина» или «ложь», а сама теория строится с помощью некоторых ограничений, наложенных на структуру формул. «Формула x⊢y является доказуемой: 1. В S