Виктор Павлович родился и ноября 1768 года в селении Глухово Черниговской губернии и первоначально получил образование в частном пансионе француза де Вильнева в Санкт-Петербурге. В возрасте восьми лет он, по настоянию отца, был записан капралом в лейб-гвардии Преображенский полк. Уже через несколько месяцев был произведен сначала в унтер-офицеры, а в ноябре 1776 года – в сержанты. Благодаря практике формальной записи дворянских детей в армию на действительную службу В.П. Кочубей поступил в 1784 году уже в чине прапорщика. На его дальнейшую карьеру большое влияние оказал родной дядя по материнской линии – князь А.А. Безбородко, который считал необходимым подготовить племянника к дипломатической службе и содействовал его зачислению в группу офицеров, выполнявших правительственные поручения в Швейцарии. Во время пребывания за границей В.П. Кочубей продолжил свое образование: в 1781–1784 годах он прослушал курс лекций в Женевском университете, а в 1785–1786 годах – в Упсальском университете. После возвращения в Россию его карьера продолжилась: в 1786-м он получил чин подпоручика, а позднее был назначен на должность камер-юнкера двора Ее Императорского Величества.
В 1788 году В.П. Кочубей отправляется в Лондон в составе дипломатической миссии под руководством графа С.Р. Воронцова. При этом, вновь получив возможность путешествовать по Европе, он побывал в Швейцарии, Голландии, Франции и в качестве вольнослушателя посещал занятия по праву в Лондонском университете (1789–1790), а также лекции Ж.-Ф. Лагарпа по истории литературы в Париже (179>1). В Европе Кочубей не только получил опыт практической работы в дипломатическом ведомстве, но и существенно дополнил свои познания. Российский посол в Великобритании С.Р. Воронцов писал об этом периоде его жизни: «Он обогатил свой разум всеми сведениями, кои неотложно нужны, чтоб служить отличным образом в политической службе… На двадцать пятом году он имеет постоянство человека сорока лет».
В 1792 году В.П. Кочубей был отозван из Англии в Санкт-Петербург, а в октябре – назначен чрезвычайным посланником России в Константинополе. Верховная власть по достоинству оценила его дипломатическую работу: в 1795-м он был награжден орденом Св. Владимира 2-й степени, а в начале 1797 года назначен членом Коллегии иностранных дел и удостоен ордена Св. Александра Невского.