Теорема III. Если одна посылка является частным суждением, заключение должно быть частным суждением.
Доказательство. Посылки не могут быть вместе частными суждениями (теорема II). Следовательно, они должны различаться по количеству и быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными или с) одно утвердительным и одно отрицательным.
a. Если обе посылки являются отрицательными суждениями, то заключения не существует (аксиома 3).
b. Одна посылка является общеутвердительным суждением, другая – частноутвердительным. В общеутвердительном суждении распределенным является лишь один термин, в частноутвердительном суждении распределенных терминов нет. Поэтому посылки содержат не более одного распределенного термина. Следовательно, заключение, если таковое существует, не содержит распределенных терминов (теорема I). Однако общее суждение содержит, по крайней мере, один распределенный термин. Поэтому заключение должно быть частным суждением.
c. Можно различить два случая: α) общее суждение является отрицательным, частное – утвердительным; β) общее суждение является утвердительным, частное – отрицательным.
α. В общем суждении распределены оба термина, в частном – распределенных терминов нет. Поэтому в посылках распределены два термина,
β. В общем суждении распределен один термин, в частном – тоже один. Поэтому в посылках распределено два термина. Как в первом, так и во втором случае посылки содержат два, и только два, распределенных термина. Заключение, если оно существует, не может содержать более одного распределенного термина (теорема I). Заключение должно быть отрицательным (аксиома 4), и его предикат, следовательно, должен быть распределенным. Поэтому его субъект не может быть распределенным, а само заключение должно быть частным суждением.
Теорема IV. Если бо′льшая посылка является частноутвердительным суждением, а меньшая посылка – общеотрицательным суждением, то заключения не существует.
Доказательство. Поскольку, согласно допущению, меньшая посылка является отрицательным суждением, заключение, если оно существует, должно быть отрицательным суждением (аксиома 4), а его предикат, являющийся большим термином, должен быть распределенным. Поэтому больший термин должен быть распределенным в большей посылке (аксиома 2). Однако в частноутвердительном суждении не распределен ни один термин. Следовательно, заключения не существует.