Исследование и оценка параметров сигналов в распределенных информационных системах. Для студентов технических специальностей - страница 5

Математическую модель гравитационного поля представим дифференциальным уравнением гравитационного поля в ньютоновской механике [2].Такое уравнение получаются переходом от закона всемирного тяготения Ньютона, где сила взаимного притяжения двух тел, которые могут быть приняты за материальные точки, прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, к дифференциальным уравнениям в теории ньютоновского потенциала.

Итак, имеются две материальные точки с массами m и m они притягиваются друг к другу по закону Ньютона и на точку m со стороны точки m действует сила (1.1), где r_>k – расстояние между точками т и m_>k, γ – гравитационная постоянная, r – единичный вектор направления от m к m.

Потенциальный характер сил тяготения т. е. Fk = grad Φk, позволяет ввести скалярную характеристику гравитационного поля – потенциал, который для двух материальных точек (1.2).

Если и пространстве имеется n материальных точек с массами m (k = 1, 2,.. п) и рассматривается их влияние на одну материальную точку массы m = 1, которая может быть помещена в разные точки пространства (пробная масса), то со стороны всех точек m_>k на пробную массу m = 1 будет действовать сила F = ΣFk и ее потенциал (1.3).

Распределение масс m_>k создает в пространстве гравитационное поле с потенциалом Φ, которое можно обнаружить с помощью пробной массы, помещенной в рассматриваемую точку пространства. Напишем дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал сил тяготения Φ. [2] Рассмотрим функцию 1 /, где (1.4) – расстояние между точкой х, у, z, в которой помещена пробная масса, и точкой x_>k, y_>k, z_>к, в которой находится k-тая масса, создающая гравитационное поле, является гармонической функцией. Во всех точках х, у, z, для которых r_>k, функция 1/r_>k удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5).

Следовательно, потенциал Φk гравитационного поля одной материальной точки удовлетворяет уравнению (1.6).

Уравнение Лапласа является линейным уравнением. Потенциал гравитационного поля Φ (х, у, z), создаваемого непрерывным распределением масс по некоторому объему V, на основании (1.3) можно написать в виде (1.7), где ρdV=dm, ρ– плотность распределения массы элемента объема dV,dm-прирост массы.