Геометрия для родителей - страница 4

BD = CF и угол ECF = углу DBE. Если BD = AD и BD = CF, то AD = CF. Поскольку угол DBE = углу ECF, то BD || CF, потому что DBE и ECF являются противоположными внутренними углами. Если BD || CF, то AD || CF. Так как AD || CF и AD = CF, то ADFC – параллелограмм, и это означает, что DF = AC и DF || AC.

Поскольку DE = EF (дано) и DE + EF = DF = AC, тогда DE = AC / 2.

Линия, проведенная из вершины, которая делит противоположную сторону треугольника на два равных отрезка, называется медианой. Рисунок 18

Рисунок 18. Медиана CD.

Медианы треугольника пересекаются. Точка пересечения медиан называется центроидом. Центроид – это геометрический центр треугольника. Если вы вырежете треугольник из картона, найдите его центр тяжести и поместите треугольник на кончик карандаша так, чтобы наконечник находился в центре тяжести треугольника, треугольник будет идеально сбалансирован. Смотрите рисунок 19.

.

Рисунок 19. Центроид – геометрический центр треугольника.

AD, CE и BF являются медианами.

Перпендикулярная линия, проведенная от середины стороны треугольника, называется перпендикулярной биссектрисой. Смотрите рисунок 20.

Рисунок 20. ED _ | _AC; JH_ | _AB; GF_ | _BC; AD = DC; AH = HB; BF = FC;

Перпендикулярные биссектрисы сторон треугольника пересекаются. Точка, в которой пересекаются перпендикулярные биссектрисы, является центром описанной окружности. Смотрите рисунок 21.

Рисунок 21. О – центр описанной окружности.

Точка, лежащая на перпендикулярной биссектрисе, одинаково удалена от вершин треугольника, образованных стороной, перпендикулярной к биссектрисе. Смотрите рисунок 22.

Рисунок 22. Перпендикулярная биссектриса DG.

Если DG – перпендикулярная биссектриса стороны AC, то AE = EC и AF = FC.

В любом треугольнике ортоцентр O (точка пересечения высот треугольника), центр описанной окружности C (точка пересечения перпендикулярных биссектрис) и центроид I (точка пересечения медиан) лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера в честь швейцарского математика и физика Леонарда Эйлера. Расстояние от ортоцентра О до центроида I вдвое больше расстояния от центроида I до центра описанной окружности С. См. Рисунок 23.

Рисунок 23. Линия Эйлера. (CIO). IO = 2IC.

GF, JH, ED – перпендикулярные биссектрисы. Точка С – это центр окружности.