Загадки и диковинки в мире чисел - страница 14

(5 + а) (5 + b).

А что мы делаем, когда умножаем с помощью пальцев? Загибаем на одной руке а пальцев, на другой – Ь, оставляя незагнутыми остальные пальцы, т. е. на одной руке (5 – а), на другой (5 – Ь) пальцев. Затем складываем а + b и получаем цифру десятков, т. е. число

10 (а + Ь).

К нему прибавляем произведение чисел на загнутых пальцах, т. е.

(5 – а) (5-Ь).

И следовательно, в результате получаем:

10 (а + b) + (5 – а) (5-Ь).

Если выполним умножения, обозначенные скобками, мы будем иметь:

10а + 10b + 25 – 5а – 5b + ab.

Но так как 10а – 5а = 5а, а 10b – 5b = 5b, то строка упрощается и получает вид:

25 + 5а + 5b + ab,

т. е. то же самое, что получилось бы от непосредственного умножения данных нам множителей (5 + а) и (5 + Ь):

(5 + а)(5 + Ь) = 25 + 5а + 5b + ab.

Короче, все действия на пальцах можно представить в общем виде так:

А это выражение, мы уже знаем, равно (5 + а) (5 + Ь).

Мы сказали в самом начале статьи, что умножение на пальцах можно выполнять до 15 × 15. Как же

это делается? Несколько иначе, чем умножение до 10 × 10. Пусть требуется умножить 12 × 14. Загибаем на руках избыток множителей над 10 (а не над 5, как раньше), т. е. на одной руке 2 пальца, на другой – 4. Складываем 2 + 4, приписываем нуль, прибавляем произведение тех же чисел 2 и 4 (а не чисел незагнутых пальцев) и, кроме того, во всех случаях прибавляем 100. Имеем:

12 × 14 = 100 + (2 + 4) 10 + 2 × 4 = 168.

Еще пример —11 × 13:

На чем основан этот прием? Обратимся снова к алгебре. Все случаи подобного умножения можно в общем виде изобразить так:

(10 + а) × (10 + Ь),

где а и b – числа, меньшие 5, – означают, сколько загнуто пальцев. Выполнив умножение по общим правилам, получим:

(10 + а) (10 + Ь) = 100 + 10 (а + b) + ab.

Из этой строки ясна правильность способа: сто + + сумма загнутых пальцев с приписанным нулем + произведение загнутых пальцев.

Любопытно, что произведение 10 × 10 можно получить на пальцах по обоим способам. Действительно, по первому имеем:

По второму способу:

Существует также прием умножения на пальцах чисел от 15 × 15 до 20 × 20, – но способ этот слишком уж сложен. Всякая счетная машина хороша, когда обращение с нею просто; наша природная десятипальцевая машина не составляет исключения из этого правила.

Опишем еще – как интересный курьез – простой прием умножения однозначных чисел на 9. Пусть нужно умножить 7 × 9. Положите перед собою на стол рядом обе руки и загните 7-й палец, считая слева. Тогда перед вами налево 6 пальцев, направо – 3: искомое произведение 63.