9>9,
т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.
Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой Вселенной ничтожно по сравнению с ним. В моей «Занимательной арифметике» (гл. десятая) уже говорилось об этом. Возвращаюсь к этой задаче лишь потому, что хочу предложить здесь по ее образцу другую.
Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ
Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:
>22>2.
Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2>4, т. е. 16.
Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 22>2 (т. е. 484), а
2>22 = 4 194 304.
Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.
ЗАДАЧА
Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи.
Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ
Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как
>33>3, т. е. 3>27, меньше чем 3>33.
Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.
ЗАДАЧА
Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
4>44,
РЕШЕНИЕ
Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ
4>44,
то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение
как раз дает большее число. В самом деле, 4>4 = 256, а 4>256 больше чем 4>44.
Тремя одинаковыми цифрами
Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.
Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.
Обозначим цифру буквой а. Расположению
2>22, 3>33, 4>44
соответствует написание
а>10а+а, т. е. а>11а.
Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:
>aa>a.
Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бóльшая величина отвечает большему показателю. Когда же