Конечно, современному человеку, с раннего детства знакомому с десятичной системой, подобные объяснения могут показаться наивными, но во времена Хорезми далеко не для всех эта система была так очевидна. Кроме того, в данном случае ценность представляет не само объяснение, а обобщение, которое делает автор.
Далее Хорезми пишет о методах решения различных уравнений. Он приводит все уравнения к одной из шести стандартных форм:
– квадраты равны корням: ax>2 = bx;
– квадраты равны числам: ax>2 = c;
– корни равны числам: bx = c;
– квадраты и корни равны числам: x>2 + bx = c;
– квадраты и числа равны корням: x>2 + c = bx;
– корни и числа равны квадратам: x>2 = bx + c.
Приведение уравнений автор предлагает осуществлять методами «аль-джебр» и «валь-мукабала» (восстановления и противопоставления). Под восстановлением он понимает перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую, под противопоставлением – сокращение в обеих частях уравнения равных членов.
Например, рассмотрим уравнение:
x>2 + 5x – 7 = 9x.
После операции восстановления, уравнение примет вид:
x>2 + 5x = 9x + 7
Теперь, применив противопоставление, получаем:
x>2 = 4x + 7.
Для уравнений вида x>2 + с = bx Хорезми приводит такое решение:
x = b/2 +-√ ((b/2)>2 – c),
при этом он указывает, что решение невозможно, если c > (b/2)>2.
Конечно же, в наше время такие преобразования откровением не являются. Кроме того, на первый взгляд, человеку, хоть чуть-чуть знакомому с математикой, процедура восстановления вообще в ряде случаев покажется бессмысленной. Но тут нужно учитывать несколько обстоятельств. Нельзя забывать о том, что все свои вычисления Хорезми проводил в словесной форме, без использования математических знаков. Естественно, что это серьезно усложняло сам процесс вычислений и математических преобразований. Что же касается приема «восстановление», то его введение, скорее всего, продиктовано двумя факторами. Математики времен Хорезми не признавали существование отрицательных величин. «Восстановление» позволяло привести уравнение к такому виду, чтобы обе его части были положительными. Кроме того, с помощью этого приема уравнения можно было привести к одному из шести канонических видов, алгоритм решения которых заранее известен. Таким образом, можно сказать, что, предложив свои алгебраические методы решения уравнений, Хорезми смог свести большинство задач к некоей стандартной форме, абстрагируясь от конкретных условий.