Рассмотрим поближе избыточные числа: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100 … .
Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Уверяю вас, это утверждение доказано, но посмотрите на перечисленные избыточные числа первой сотни! Не в пору ли усомниться в сказанном, где среди них нечетные числа? Их нет. Наименьшим избыточным числом является 12, это мы видим в приведенной таблице. Оказывается, избыточные нечетные числа более редкая вещь и чтобы найти наименьшее из них пришлось бы перебирать числа первой тысячи, так как наименьшим нечетным избыточным числом является 945, которое стоит на 386-ом месте среди избыточных чисел. В тексте будут попадаться задания для читателей отмеченные цифрой и знаком вопроса. На такие задания в конце книги даются ответы.
1?. Какое следующее по порядку нечетное избыточное число из бесконечного множества нечетных избыточных чисел?
Попробуйте найти сами. Подскажу только, что и во второй тысяче есть только одно нечетное избыточное число, в третьей тысяче их два и так далее. Довольно редкие создания. Если говорить о множестве всех натуральных чисел, то почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно установлено, что произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью, лежащей между 0,2474 и 0,2480.
Интересную закономерность доказал советский математик Лев Шнирельман: любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел. Видите, работают люди с натуральными числами, находят новые закономерности. Нам и далее будут встречаться закономерности и проблемы, связанные со сложением чисел, их называют аддитивными, в отличие от вопросов, связанных с умножением, называемых мультипликативными. Почему-то аддитивных проблем в теории чисел больше, видимо, это заложено в аддитивном принципе получения множества натуральных чисел. Таким образом, Лев Шнирельман доказал одну из аддитивных теорем.
Нельзя обойти вниманием недостаточные числа. Их гораздо больше, чем избыточных, поэтому им всегда уделяли меньше внимания, никакой благотворительности, сами пусть разбираются, почему они недостаточные. Вот сколько недостаточных набралось среди первых пятидесяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50. Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных недостаточных чисел. Но обратите внимание, нечетные числа среди недостаточных чисел встречаются гораздо чаще четных в отличие от чисел избыточных. Тоже ведь интересно, почему образовалось такое распределение? Возможно потому, что к недостаточным числам относятся все простые числа (так как у них только один собственный делитель – это единица), а также степени простых чисел и собственные делители недостаточных и совершенных чисел.