Получается как в детской считалочке из 13 слов, считаем по кругу и спичку, на которую выпадет счет, выводим из игры. Главное – какую убрать первой, дальше элементарно.
В нашем представлении спичка символизирует нечто маленькое. Есть даже выражение «измерять на спичках», означающее какие-то мелкие придирки. Действительно, длина спички чуть больше 4 сантиметров, а вес её, наверное, меньше 1 грамма. Вот если бы Гулливер прихватил с собой спички в страну лилипутов, то для них она выглядела бы в 12 раз больше и представляла бы собой деревянную палку длиной 50 сантиметров. Но оказывается, математика может доказать, что спичка и без страны лилипутов имеет внушительные размеры. Это делается с помощью софизмов – ложных по существу умозаключений, формально кажущихся правильными. Любой софизм основывается на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики или математики. Сейчас мы рассмотрим два подобных утверждения.
3-7. Софизм: спичка вдвое длиннее телеграфного столба.
Пусть a – длина спички (в сантиметрах), b – длина столба (тоже в сантиметрах). Обозначим b-a=c, тогда b=a+c. Перемножим эти равенства почленно. Получим b>2-ab=ca+c>2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b>2-ab-bc=ca+c>2-bc. Вынесем общие множители за скобки: b(b-a-c)=c(-b+a+c), или b(b-a-c)=-c(b-a-c).
Разделим обе части равенства на одно и тоже выражение (b-a-c). Получим b=-c. Но по первоначальному обозначению c=b-a, так что -c=a-b. Таким образом, окончательно получаем b=a-b, a=2b и спичка оказалась вдвое длиннее телеграфного столба! Найдите ошибку в рассуждениях, или может быть всё правильно?
3-8. Софизм: вес спички равен весу слона.
Оказывается спичка не только очень длинная, но и очень тяжелая! Пусть – x вес слона, а – y вес спички. Обозначим сумму весов через 2v, то есть, x+y=2v. Из этого равенства переносом слагаемых в другую часть можно получить ещё два равенства: x-2v=-y, и x=-y+2v.
Перемножим почленно последние два равенства:
x>2-2vx=y>2-2vy.
Прибавив к обеим частям полученного равенства по v>2.
Получим x>2-2vx+v>2=y>2-2vy+v>2 или (x-v)>2=(y-v)>2.
Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: x-v=y-v или x=y, то есть вес слона равен весу спички. Найдите ошибку в рассуждениях.
Следующая группа состоит из задач, которые можно решать логически, а можно составлять уравнения. Это как раз то, чем занимается школьная алгебра: обозначить неизвестные величины, составить и решить уравнения, найти и проверить ответ.