Но и на этом беды со здоровьем детей не кончились. Семью Перельман подстерегали ещё более трудные испытания. Продолжительное вирусное заболевание одновременно началось у мальчиков, которые по цепочке наградили им же свою сестричку. Если Фима и Иосиф довольно быстро выздоровели, то у Сталинки произошло осложнение болезни, результатом которой явился коклюш – чудовищное и зловещее заболевание, плохо переносимое маленькими детьми. Марк надолго запомнил надрывный лающий и громкий кашель своей милой доченьки, который не излечивался никакими лекарствами. Во время таких приступов, которые повторялись более полусотни раз в день, он не мог без содрогания смотреть, как синело лицо Сталины и выступали вены, как маленький язычок высовывался изо рта и дыхание чуть ли не останавливалось. Так продолжалось около двух месяцев. Марк был известным врачом в медицинских кругах Казани. Чтобы вылечить Сталинку, он подключил все свои многочисленные связи. Одни врачи советовали поднять ребёнка на самолёте в воздух, другие – отправиться в горные районы с большим перепадом высот.
Горы в окрестностях Казани не просматривались даже вооружённым взглядом, но Марк безоговорочно верил рекомендациям опытных и знающих врачей. Поэтому он, не задумываясь, взял десятидневный отпуск, снял с сберкнижки деньги, которые целый год собирал на поездку с детьми на Чёрное море и отправился со Сталиной в аэропорт. Марк не был силён в географии, однако, изучив карту, определил, что ближайшим к Казани, если не принимать во внимание холмистые Жигули, горным массивом является Кавказ. Буквально через день он с дочерью прилетели в Минводы, а оттуда на автобусе добрались до Пятигорска. В течение десяти дней каждое утро он укладывал Сталинку в коляску и отправлялся с ней на известную гору Машук, вздымающую на высоту 994 метра. Поскольку сам город находился на высоте 500 метров, то перепад, преодолеваемый Марком, составлял полкилометра. С трудом переводя дыхание и вытирая носовым платком выступающий пот, он катил коляску по крутому серпантину тропы, уходящей к вершине. За одно гуляние он совершал 4—5 таких спусков и восхождений, чтобы достигать, как советовали врачи, ощутимой разности высот и давлений. Как известно, барометрическая ступень предполагает, что изменение высоты на 11 метров меняет атмосферное давление на 1 мм. Таким образом, Марку удавалось вклиниваться в 40-миллиметровый перепад давления, рекомендуемый одним из казанских профессоров. Чудо-исцеление, прогнозируемое им, свершилось. К концу отпуска кашель значительно уменьшился, а через несколько дней после возвращения в Казань прекратился и Сталина выздоровела.