Исторически понятие измерения было введено математиками (в первую очередь геометрами). Древние геометры рассуждали приблизительно так. Пусть имеются два равных отрезка (отрезок – 1 равен отрезку – 2). Затем в результате чего-то оказалось, что отрезок – 1 стал короче отрезка – 2. Как узнать, что произошло с ними на самом деле? Здесь имеются пять вариантов развития событий.
1-й вариант. 1-й отрезок стал короче; 2-й не изменился.
2-й вариант. 1-й отрезок не изменился; 2-й стал длиннее.
3-й вариант.1-й отрезок стал короче; 2-й стал длиннее.
4-й вариант. Оба отрезка укоротились, но 1-й отрезок укоротился больше, чем 2-й.
5 – вариант. Оба отрезка стали длиннее, но 2-й отрезок удлинился больше, чем 1-й.
Нет никакой возможности узнать, что произошло с отрезками на самом деле, если только заранее не иметь в своем распоряжении таких фигур (отрезков, углов и т. д.), про которые мы точно знаем, что они не меняются ни при каких внешних обстоятельствах. А это требует «аксиомы неизменности», говорит геометр и вводит её примерно так: геометрические объекты подчиняются только условиям, налагаемым математиком, и не зависят ни от каких других внешних условий. Так если геометр говорит: дан отрезок длиной L, то это значит, что его длина никоим образом не изменится, как бы мы его не двигали и куда бы мы его не прикладывали. Если геометр говорит: дана сфера радиуса R с центром в точке O, то никто кроме математика уже не может переместить её центр в другую точку или изменить её радиус. Далее нам придется говорить только об этой аксиоме неизменности, поэтому мы будем её называть просто Аксиома (и писать её с большой буквы ввиду её важности). Аксиома эта настолько прочно вжилась в наше сознание, что мы никогда почти её вслух не проговариваем, но всегда подразумеваем, что она действует. Традиционная математика, в которой действуют знаки: <, >, =, +, -, и т. д., покоится именно на этой Аксиоме. Следует также заметить, что в ситуации с двумя отрезками геометры применили принцип относительности, взятый ими из законов природы, и применили его весьма корректно (и эта корректность привела их к Аксиоме).
Только теперь геометр начинает говорить об измерении. Он вводит определение: измерить отрезок L с помощью единичного отрезка s