Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов - страница 10
Рис. 5.1
Рис. 5.2
На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.
s>αdA – σ>zdA>zcosα – σ>ydA>ysinα – τ>zydA>zsinα – τ>yzdA>ycosα = 0
τ>αdA+ σ>zdA>zsinα – σ>ydA>ycosα – τ>zydA>zcosα + τ>yzdA>ysinα = 0
Учитывая, что dA>z = 1dy = dAcosα, dA>y = 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:
σ>α = σ>zcos>2α + σ>ysin>2α + τ>zy sin2α
Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:
Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.
τ>max = ½(σ>z – σ>y)
Частный случай плоского напряженного состояния: при σ>x = σ>y τ>α =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σ>α = σ>y = σ>z = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.
При σ>x = – σ>y = σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.
12. Графическое определение напряжений (круг Мора)
По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.
Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:
σ = σ>xcos>2α + σ>ysin>2α + τ>xsin2α
τ = (σ>x – σ>y)sin2α – τ>xcos2α
Преобразуем первое выражение:
σ = ½σ>x(1 + cos2α) + ½σ>y(1 – cos2α) + τ>xsin2α
После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:
τ = (σ>x – σ>y)sin2α – τ>xcos2α
Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:
Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)>2 + (y – b)>2 = R>2.
Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами