Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - страница 12
Можно ли сказать, что множества нечетных чисел и четных чисел меньше, чем множество всех натуральных (то есть целых положительных) чисел?
На первый взгляд можно решить, что это утверждение должно быть справедливым. Казалось бы, логично считать, что, например, множество четных чисел должно быть в два раза меньше множества всех натуральных чисел (в которое входят числа как четные, так и нечетные).
Однако посмотрим на этот вопрос вот с какой стороны: каждому натуральному числу можно сопоставить натуральное число.
Теперь мы начинаем осознавать эту умопомрачительную концепцию: хотя в множестве четных чисел пропущено каждое второе число (по сравнению с множеством всех натуральных чисел), количество элементов обоих множеств все равно одинаково. Говорят, что это множества одинаковой мощности. В этой книге мы еще поговорим о концепции мощности множества гораздо подробнее.
А это, по сути, подводит нас к вопросу еще более глубокому: можно ли вообще сравнивать бесконечные множества чисел и спрашивать, какое из них больше? Имеют ли слова «больше» и «меньше», «крупнее» и «мельче» вообще хоть какой-нибудь смысл, когда речь идет о бесконечных величинах?
Читайте дальше!
Концепция бесконечности сложна и глубока и иногда действительно кажется невообразимой. Имеет смысл вспомнить, что говорил на эту тему Галилей:
[Это] относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей[4].
Несмотря на всю симпатию и все уважение, которые я питаю к Галилео Галилею, я придерживаюсь более оптимистических взглядов. В оставшейся части этой книги мы будем довольно плотно иметь дело с бесконечностью, хотя и останемся, увы, существами до боли конечными. Как сказал Паскаль:
Человек – всего лишь тростник, слабейшее из творений природы, но он – тростник мыслящий[5].
Если вы по-прежнему не уверены в том, что (во всех этих версиях) в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, мне остается только пустить в дело тяжелую артиллерию и предложить вам следующую, последнюю версию этого парадокса: предположим, что мячи не пронумерованы; все они – самые обычные белые теннисные мячики.