Сын адмирала Самуила Карловича Грейга был крестником императрицы Екатерины Великой и графа Алексея Григорьевича Орлова-Чесменского. При крещении малыш был произведён в мичманы, а в десять лет – в лейтенанты.
По настоянию отца в 1785 году Алексей был направлен для обучения в Англию. 19 мая 1788 года Алексей Грейг вернулся из Англии.
На «Мстиславе» он встретился с Иваном Крузенштерном. Дружба моряков, возникшая, когда один был семнадцатилетним юношей, а второй тринадцатилетним мальчиком, продолжалась всю жизнь.
Выше уже было упомянуто, что кораблём «Мстислав» командовал молодой капитан первого ранга, любимец российского флота Григорий Иванович Муловский. Тридцатилетний капитан считался одним из самых образованных офицеров русского флота. Он владел иностранными языками: французским, немецким, английским и итальянским. Увлекался музыкой и живописью, философией и математикой. Когда в 1786 году встал вопрос об организации первой русской кругосветной экспедиции, Григорий Муловский был единодушно назначен её начальником.
Отряд из пяти небольших кораблей: «Смелый», «Сокол», «Соловки», «Холмогоры» и «Турухтан» – под командованием Григория Муловского должен был совершить первое кругосветное плавание «для охранения права нашего на земли, российскими мореплавателями открытые».
Муловскому высочайшим указом повелевалось «объехать мыс Доброй Надежды, а оттуда, продолжая путь через Зондский пролив и оставив Японию в левой стороне, идти на Камчатку».
По ходу плавания было предписано «обойти и описать все малые и большие острова… причислить формально к владению Российского государства, поставив или укрепив гербы и зарыв медали в пристойном месте». Помимо этого, на Григория Ивановича Муловского были возложены задачи, согласно которым он должен был установить торговые отношения с Китаем и доставить необходимые материалы и готовые изделия из Кронштадта в Петропавловскую гавань на Камчатке. За выполнение кругосветного плавания начальнику экспедиции были обещаны два внеочередных чина и два ордена Святого Владимира – III и II степеней.
Однако этим захватывающим планам не суждено было сбыться. Подготовка к экспедиции уже близилась к завершению, когда пришло известие о начале новой войны с Турцией. Немедленно последовал указ об отмене кругосветного плавания группы кораблей под командованием капитана Муловского.