В данном случае это предложение-6: «В рассказе И. С. Тургенева „Бежином луге“ повествуется об интересном случае на охоте, произошедшем с самим автором».
Названия склонять не нужно: они всегда употребляются в начальной форме, то есть – НЕ СОГЛАСУЮТСЯ с определяемым словом (в данном случае – со словом «в рассказе»).
«Бежин луг» – приложение: рассказ – какой? – «Бежин луг». Отвечает на вопрос «какой?», является определением, но выражено это определение словосочетанием, где главное слово – существительное («луг»). У существительного нет такого свойства, как у прилагательного, – согласовываться со словом, к которому оно относится (то есть принимать ту же форму: того же рода, числа, падежа).
Так что «в рассказе „Бежином луге“» – разумеется, неправильно, а надо «в рассказе „Бежин луг“».
А что такое «нарушение в построении предложения с причастным оборотом»? Причастный оборот – это тоже определение, и вполне согласованное: причастие, как и прилагательное, принимает форму того же числа, рода и падежа, что и существительное, к которому оно относится. Получается, тут должна быть ошибка как раз в согласовании причастия с определяемым словом (причастие – не в том падеже, или не в том числе, или не в том роде, в каком оно должно быть).
В нашем случае это предложение-4: «С молодых лет Мясоедов входил в круг художников, боровшимся с рутиной академизма». «Входил в круг художников» – каких? – боровшихся (а не «боровшимся»).
Нужно добиться от себя того, чтобы, читая любое предложение, вы сразу видели, есть тут грамматическая ошибка или нет, и, если есть, то какая.
Из 9-ти предложений – 4 правильных: там никаких ошибок нет. Понятно, что человек, который не в состоянии отличить предложения с ошибками от тех, где их нет, выполнить это задание не сможет. Случайные правильные ответы тут маловероятны.
То есть сначала нужно натренировать у себя навык различения грамматических ошибок.
Именно отсутствием этого навыка и объясняется 99% ошибок в этом тесте.
Если же навык вы у себя выработали, то тест делать нужно так. 1) Сначала прочитать колонку слева (с формулировками: какие там ошибки). Вспомнить, что это такое. 2) Потом внимательно прочитать все (все девять) предложения справа, отделить те, где вовсе нет ошибок. 3) После чего установить соответствие между формулировками и предложениями с ошибками.