====== Знаете ли Вы что такое Флатландия? ======
«Флатла́ндия» (англ. «Flatland: A Romance of Many Dimensions») – роман Эдвина Э. Эбботта, который вышел в свет в 1884 году. Этот научно-фантастический роман считается полезным для людей, изучающих, например, понятия о других пространственных измерениях или гиперпространствах. Как литературное произведение роман ценится из-за сатиры на социальную иерархию викторианского общества. Айзек Азимов в предисловии к одной из многих публикаций романа написал, что это «лучшее введение в способ восприятия измерений, которое может быть найдено».
По этой книге было снято несколько фильмов, в том числе одноимённый художественный фильм 2007 года, в России известный как Плоский Мир.
=======================================================
Итак, в многомерном пространстве координаты любой точки P задаются относительно начала координат выражением: P = (x>1, x>2, … x>n), а вектор соединяющий начало координат – точку (0, 0,0 … 0) и точку P именуется радиус вектором например A, B, C его компоненты – это координаты по осям: x1, x2, … xn
интересно заметить, что как в двумерном, трёхмерном пространстве, так и многомерном пространстве радиус векторы можно складывать – вычитать покомпонентно:
A + B = (a>1 + b>1, a>2 + b>2 …. a>n + b>n)
Так например, в физике происходит сложение перемещений, скоростей либо сил.
А что будет при умножении векторов? Да, такая операция возможна. Познакомимся со скалярным произведением двух векторов, которое происходит также по каждой компоненте отдельно, а результат – число образуемое путем сложения результатов таких произведений:
A * B = a>1 * b>1 + a>2 * b>2 + …. + a>n * b>n
Попробуем умножить вектор a = (1,1,1) на самого себя
(1,1,1) * (1,1,1) = 1*1 +1 *1 +1 * 1 = 3 или квадрат модуля вектора обозначаемого как |a|>2. Не принято говорить длина вектора – принято говорить модуль вектора. Легко вычислить, что в n -мерном кубе с ребром a длина наибольшей диагонали равна a * √n в самом деле в квадрате это a * √2 а для случая куба a * √3.
В чём же состоит смысл скалярного произведения?
Например, в физике вектор силы умножить на вектор пройденного путем есть совершенная над телом работа. Если эти вектора со-направлены, то результат будет максимальный, если перпендикулярны, – то нулевой (санки нельзя ускорить, если Вы прикладываете силу поперёк их движения).