Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей - страница 21
И Матвей продолжал:
– Гиперкуб обладает свойством симметрии. Если расположить начало координат в центре гиперкуба, то каждая его вершина будет находится на расстоянии половина ребра a умножить на квадратный корень √n, что легко вычисляется по теореме Пифагора. Перпендикуляр, опущенный из центра гиперкуба на любую его грань, проходит через её центр и длина образуемого отрезка (высоты любой из совершенно одинаковых из 2n гиперпирамид, на которые рассекается гиперкуб составляет половину ребра гиперкуба ½а). Легко убедиться, что грань гиперкуба – это гиперкуб размерности на единицу меньше…
– А я видел фильм про гиперкуб! – вдруг перебил его Артур. -Там он как- то странно крутился на шарнирах…
– Да, это тессеракт, – подтвердил Матвей или четырехмерный гиперкуб, но его показывают с эффектом параллакса или о степенях выше трёх мы ещё поговорим, а пока достаточно сравнить двухмерный, он показал на шахматную доску и трёхмерный случаи, и он коснулся фигуры из деревянных кубиков.
Давайте рассечем нашу фигуру из трёх вложенных друг в друга гиперкубов на равные гиперпирамиды, конкретно квадраты мы рассечем прямыми линиями на четыре треугольника, а кубы – на шесть совершенно одинаковых пирамид, как раз по числу граней.
Рис. 2.4. Рассечение гиперкуба. Случай двумерного пространства. Обратите внимание на уравнения x>2 = x>1 или привычнее y = x – это линяя под углом 45 градусов или биссектриса угла. Подумайте, как будут расположены точки на прямой, описываемой уравнением x>2 =-x>1
– А почему они будут одинаковы? – задумчиво спросил Борщов.
– Потому что каждая пирамида имеет одинаковую высоту, равную как раз половине ребра гиперперкуба и основания каждой пирамиды одновременно являются гранями гиперкуба, а в силу симметрии грани между собой конгруэнтны, проще говоря равны. Более того эти пирамиды правильные, их грани равны и боковые ребра равны, поскольку являются полудиагоналями гиперкуба, что составляет a * √n /2.
– Ага, вижу ….
Рис. 2.5. Рассечение гиперкуба. Случай трёхмерного пространства.
– Матвей, ты хочешь сказать, что эти пирамиды также вписаны друг в друга: большая, малая и средняя? – спросила его Татьяна.
– Да, они также вписаны как и гиперкубы, но я их не стал изображать, чтобы не затруднить восприятие.
– Я кажется догадалась, ты сейчас расскажешь нам о симметрии! – предвосхитила с улыбкой Татьяна.