«Но, если даже предположить, что греческие математики школы Платона познакомились бы с арифметической буквенной символикой, трудно представить, чтобы они воспроизвели научный подвиг Декарта. Ведь отношение не было для них идеей и не имело, следовательно, реального существования. Кому же придет в голову обозначать буквой то, чего нет?»
Итак, «a = b R c» означает, что «а – то же, что отношение (т. е. R) b к c». Причем, как «b», так и «с» сами могут быть отношением к чему-то другому, а не только свойством, например: «b = d R h», «с = w R q». Тогда «a = (d R h) R (w R q)». … Сама же пара (a, b R c) симметрична, т. е. «a» во всех мирах заменима на «b R c» и «b R c» заменима на «a».
И если кого-то смущает, что «объект – это отношение отношений» и для кого Гегель – лишь несварение мыслей, тот пусть задастся вопросом: для равенства y=f(x), если «x» – объект, а «f» – отношение, что есть «y»? «Y» – то же самое, что …
Не будем тревожить мышление «только математиков», ибо оно покоится с миром. … Поговорим лучше об элементе множества и множестве в терминах часть и целое. Может ли целое быть своей частью? Для случая, если частей больше одной, ответ однозначен: целое не может быть своей частью. А если она (часть) одна? Верно ли, что «a ≠ {a}»?
Ни у кого не вызывает возражений утверждение, что «a есть a», т. е. «a = a». Но как быть с формулировкой: «a» – это то, что «a»? Связка «… это то, что …» как раз группирует то, что находится после нее и именует эту совокупность тем, что находится перед ней. Например, синий квадрат – это то, что квадрат и синий: «синий квадрат» = {квадрат, синий}. Понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «квадрат». И понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «синий». Так вот, «синий квадрат» как целое через знак тождества связывает свои части, которые по отдельности не равны целому. Но квадрат как целое будет равен квадрату как части, если других частей нет. Иначе говоря, «а = {а}» вырождается в «а = а».
Среди аргументов, которые критикуют эту концепцию, следующие: парадокс Рассела и довод, кочующий по учебникам: «Так, пусть a = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {a}, содержащее своим единственным элементом множество «a». Тогда «a» содержит два элемента, в то время как {a} – лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно». … Посыл, как видно, изначально не верен: рассматривается «а = {а, b}», а не «а = {а}».