Пушистые логарифмы - страница 16

Шестиугольник – идеальная фигура, чтобы замостить плоскость без пробелов. Это уже что-то, т. к. для подобной цели не подойдут ни круги, ни семи- и девятиугольники. Но откуда пчелы знают о таких геометрических тонкостях? И почему не используют более простые треугольники или квадраты, которые тоже легко подгоняются друг к другу?

Для того чтобы пережить маленькую «теорию», делаем простую математическую модель без единой формулы. Возьмем горсть одинаковых монет. Одну поставим в центр, а другие расположим вокруг так, чтобы все они соприкасались друг с другом. Мы увидим между ними похожие на треугольники зазоры, из-за которых круглой плиткой мы плоскость не замостим. Но вот что интересно – сколько бы раз мы не проделывали этот эксперимент, монеток по краям всегда будет ровно шесть!

Представим теперь, что монетки начинают раздуваться, как пузыри, пытаясь отвоевать друг у друга пустое пространство. Конкуренция деформирует личности и целые народы, чего уж говорить о кругах… В случае равномерного давления шесть точек соприкосновения разобьют окружность на шесть дуг, каждая из которых в конечном итоге распрямится в отрезок, и мы получим идеальное шестиугольное замощение. Круг, шар – наиболее естественная форма заполнения пространства – из центра во все стороны. При «честной» конкуренции круги становятся шестиугольниками. В случае же неравной борьбы получаются пятиугольники и другие альтернативные формы «замощения».

Вряд ли данная геометрическая метаморфоза объяснит нам шестиугольность бензольного кольца, но на устройство сот, клеток, а возможно, и на какие-то тайны геополитики, вероятно, прольет какой-то свет.

Однажды, наблюдая с сыном за поведением капель растительного масла в воде, я вновь пережил вспышку «теории», в пифагорейском смысле этого слова. В этот раз круги не давили друг на друга, как при кипении воды или в пчелиных сотах. Метаморфоза как будто свернула на соседнюю тропинку, и вместо привычных шестиугольников я увидел что-то вроде проколов в матрице.

Представим себе, что нам нужно замостить плоскость круглой плиткой сколь угодно малых размеров. Заполнить пространство как в случае с квадратами или шестиугольниками не получится: между окружностями всегда будут оставаться пробелы. Попытаемся заполнить их плиткой меньшего радиуса (именно так ведут себя пузыри, возникающие между пузырями). Очевидно, что пробелы не уйдут ни в этот раз, ни в следующий… Какие бы маленькие круги мы ни брали, всегда будет оставаться зазор, поэтому процесс можно потенциально продолжать до бесконечности.