Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - страница 21

Таблица 1.6. Значения численности популяции

0 1             2             3             4             5             6             7             8             9             10

           1,94       3,04       4,62       6,72       9,26       11,88     14,08     15,52     16,26     16,60     16,72

1.2.8. Предположим, что популяция моделируется уравнением

 когда  измеряется поштучно.

а. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но с популяцией, измеряемой в тысячах штук. Подсказка: пусть

, тогда  и можно найти формулу для описания зависимости  от .

б. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но для популяции, измеряемой в единицах, выбранных таким образом, чтобы пропускная способность составляла 1 в этих единицах. Для начала определите пропускную способность исходной модели.

1.2.9. Метод построения паутинной диаграммы для изучения итерированных моделей не ограничивается только моделированием логистического роста, описанного выше. Определите графически популяции в каждой из моделей на рисунке 1.5 выполнив шесть итераций приращения, используя отмеченные начальные значения численности популяции

.

а.

б.

в.

г.

Рисунок 1.5. Паутинные диаграммы для задачи 1.2.9.

1.2.10. Приведите формулу для графика, изображенного в части (а) рисунка 1.5. Как называется такая модель?

1.2.11. Некоторые из одних и тех же идей и моделей, используемых в исследованиях популяций, появляются в совершенно неожиданных научных областях.

a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно , и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве

, преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве  в момент времени . Опираясь на свои школьные знания, объясните, почему . Какие значения  являются допустимыми? Какой смысл имеет ? Как выглядит график функции  от ?

b. Химические реакции называются автокаталитическими, если скорость, с которой они происходят, пропорциональна как количеству сырья, так и количеству продукта, тот есть продукт реакции отказывается её катализатором. Модно снова использовать очень малый интервал времени для моделирования такого действия, но уже с помощью другого уравнения. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно