Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II - страница 7

Рисунок 5.4. Разные изображения одного и того же метрического дерева.

Задачи для самостоятельного решения:

5.1.1. Рассмотрим деревья на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5. Деревья для задачи 5.1.1.

а. Какие из них совпадают с корневыми метрическими деревьями?

б. Какие из них совпадают с некорневыми метрическими деревьями?

в. Какие из них такие же, как корневые топологические деревья?

г. Какие из них такие же, как некорневые топологические деревья?

д. Для каких деревьев работают молекулярные часы?

5.1.2. а. Нарисуйте единственное топологически уникальное некорневое раздвоенное дерево, которое могло бы описать связь между 3 таксонами.

б. Нарисуйте три топологически различных корневых раздвоенных дерева, которые могли бы описать связь между 3 таксонами.

5.1.3. а. Нарисуйте все 3 топологически различных некорневых раздвоенных деревьев, которые могли бы описать связь между 4 таксонами.

б. Нарисуйте все 15 топологически различных корневых раздвоенных деревьев, которые могли бы описать связь между 4 таксонами.

5.1.4. Для  терминальных таксонов количество некорневых раздвоенных деревьев можно найти как

. Составьте таблицу значений и отобразите эту функцию для .

5.1.5. Для  терминальных таксонов количество корневых раздвоенных деревьев равно значению

. Составьте таблицу значений и отобразите эту функцию для .

5.1.6. В этой задаче рассмотрим рассуждения, лежащие в основе формул для числа топологически различных деревьев, корневых и некорневых.

а. Предположим известно, что некорневое дерево с  концевыми вершинами состоит из

 ребер. Объясните, почему некорневое дерево с  концевыми вершинами будет иметь  ребра. Подсказка: подумайте о том, как добавление еще одной конечной вершины в существующее дерево влияет на количество ребер.

б. Поскольку некорневое дерево с 2 концевыми вершинами имеет 1 ребро, объясните из пункта (а), почему некорневое дерево с  концевыми вершинами будет иметь

 ребра.

в. Предположим известно, что существует

 некорневых деревьев с  концевыми вершинами. Объясните, почему существует  некорневых деревьев с  концевой вершиной. Подсказка: подумайте, сколькими различными способами можно добавить еще одну конечную вершину к существующему дереву.

г. Поскольку существует только 1 некорневое дерево с 2 концевыми вершинами, объясните используя пункт (c), почему существует