Все науки. №1, 2023. Международный научный журнал - страница 34

А доказательство выглядело следующим образом. Он хотел использовать логику и математику, чтобы найти ответы на вопросы о том, как работают, логика и математика, для чего он взял все знаки математической системы и присвоил каждому из них свой номер, приводя нумерацию Гёделя.

Его система демонстрируется в (3—17).

Но если потратить на каждый знак числа, то для самих чисел, к примеру для 0 присваивается цифра – 6, а если написать 1, пишется «s0», что значит «следующее за 0», для 2 – ss0 и так можно выразить любое целое число, хоть и громоздко. Итак, если для обозначения и чисел ввели показатели, то можно записать и уравнения, к примеру «0=0», эти значениям присваиваются цифры 6, 5, 6, соответственно, но для уравнения «0=0», можно создать свою карточку, взять простые числа с 2 и они возводятся в степень числа элемента по системе Гёделя, а затем они перемножаются.

Так уравнение «0=0», записывается в (18).

То есть, для уравнения «0=0», число Гёделя равно 243 000 000 и как можно видеть, подобные комбинации вполне можно получить для абсолютно любого уравнения, любой комбинации символов, и она словно бесконечная колода карт, где для любой комбинации существует персональная своя карта. А красота системы ещё заключается в том, что можно не только из уравнения получить число, но и из числа уравнение, для сравнения, можно взять любое число, попросту разложить его на простые множители, и в зависимости от степеней простых чисел получить уравнение.

Разумеется, что в этой колоде будут и истинные, и ложные утверждения, но для их доказательства, необходимо обратиться к аксиомам, которые тоже имеют свои номера Гёделя, к примеру, для аксиомы: «Нет любого числа за любым числом x, равным 0», ведь в этой системе нет 0. Записать такую аксиому можно в (19), а в (20), подставить под него 0, откуда следует, что 1=0.

Именно так можно доказывать любое утверждение в системе Гёделя и конечно, это уравнение имеет своё число Гёделя (21).

Здесь два значения для доказательства и самой аксиомы разные. И как видно значения становятся всё больше и больше, поэтому просто необходимо ввести другие более ёмкие обозначения в виде букв, но получилось так, что для числа g, с уравнением (22):

доказательством стало само число g, то есть эти два числа совпали и получилось, что во всей колоде, нет ни одной карты, которая могла бы доказать такое утверждение. То есть если оно ложно и доказательство тому есть, то было доказано, что доказательства не существует. Это полный тупик, означающий противоречивость системы. Ведь даже если сказать, что это утверждение истинно, получалось бы, что есть утверждения, даже при наличии аксиом, что для них нет доказательств. И значит, система не полна, из этого следовало, что любая математическая система, способная к простым арифметическим вычислениям всегда будет содержать истинные утверждения, у которых нет доказательства.