Но это было до того, как во многих исследованиях было обнаружено, что более старая функция во многих случаях является предпочтительной. К природным явлениям, которые лучше всего описывает функция Гомпертца, относятся такие фундаментальные биохимические процессы, как рост нормальных и злокачественных клеток, кинетика ферментативных реакций и интенсивность фотосинтеза как функция концентрации CO>2 в атмосфере (Waliszewski and Konarski, 2005). Когда логистическое уравнение стало чаще использоваться для изучения роста организмов, многие исследователи отмечали ограничения функции при воспроизведении наблюдаемого роста животных и растений и ее недостаточную надежность при прогнозировании прироста на основе прошлых показателей. Нгуимке (Nguimkeu, 2014) предлагает простой дифференциальный тест для выбора между моделями Гомпертца и логистического роста.
Основным недостатком кривой логистического роста является ее симметрия: она напоминает колебания маятника, набирающего максимальную скорость в середине траектории. Точка перегиба логистической кривой приходится на 50 % максимального значения, в результате чего схема роста дает симметричную колоколообразную кривую (кривую Гаусса), которая будет рассмотрена в следующем разделе. Многие организмы демонстрируют более быстрые темпы роста на начальных стадиях, и кривые их роста достигают точки перегиба гораздо раньше, чем асимптотического максимума. Аналогично многие процессы распространения (будь то внедрение новых промышленных методов или распространение владения бытовой техникой) следуют асимметричной S-образной траектории.
И поскольку степень асимметрии также зафиксирована в асимметрической функции Гомпертца, многие попытки избавиться от этих недостатков ведут к формулированию нескольких дополнительных моделей роста логистического типа. Цуларис (Tsoularis, 2001) рассмотрел эти производные модели – главные из которых были представлены Берталанффи (von Bertalanffy, 1938), Ричардсом (Richards, 1959), Блумбергом (Blumberg, 1968), Тернером и др. (Turner et al., 1976) и Берчем (Birch, 1999), – а также предложил собственную обобщенную логистическую функцию, из которой можно получить все эти модификации. Они не систематизированы в зависимости от практической ценности: все эти функции принадлежат к одной семье (являясь вариациями на тему S-образного роста), и ни одна из них не превосходит другие сигмоидальные кривые с тремя постоянными по степени пригодности.