симметричных пар числа
n, такое что,
C = {a>n,…a>i,…a>3,a>2, a>1, b>1, b>2, b>3,… b>i…b>n }, (2.1)
где a>i, b>i. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).
Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества
A = {a>1, a>2, a>3,…a>n } и множества B = {b>1, b>2, b>3,…b>n }. (2.2)
Очевидно C = AUB.
Для нашего примера эти множества будут
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.
Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a>i, b>i).
Действительно, имеем a>1= n–1, a>2 = n – 2, a>3 = n – 3, …a>i = n – i, …….. a>n>-3 = 3, a>n>-2 = 2, a>n>-1 = 1, a>n = 0, и b>1 = n + 1, b>2 = n + 2, b>3 = n + 3, …….. b>i = n + i,……. b>n>-1 = n + n – 1, b>n = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью
a>i = n – i,b>i = n + i, (2.3)
где i = 1,2,3, …….n.
Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть
a>i + b>i = 2n и b>i – a>i= 2i, (2.4)
где i = 1,2,3, …….n.
Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. δ=i.
Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать
A = nch>A U ch>A;
B = nch>B U ch>B, (2.5)
где nch>A и ch>A – подмножества нечетных и четных чисел множества A;
nch>B и ch>B – подмножества нечетных и четных чисел множества B.
Для указанного выше примера, имеем
nch>A= {1, 3, 5, 7, 9} и ch>A= {0, 2, 4, 6, 8}.
nch>B= {11, 13, 15, 17, 19} и ch>B= {12, 14, 16, 18, 20}.
Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch>A| и |ch>A| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nch>B| и |ch>B|, мощности которых также равны между собой.
Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch>A| и |ch>B| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств