Формула D (x, y) = γ (x) + δ (y) – m (x, y) является основной формулой в алгоритме Дейкстры-Прима и объединяет в себе идеи двух классических алгоритмов – алгоритма Дейкстры для поиска кратчайшего пути и алгоритма Прима для построения минимального остовного дерева. Эта формула позволяет эффективно решать оба задания на графе одновременно.
Обратимся к составляющим формулы:
– D(x, y) представляет собой длину кратчайшего пути между вершинами x и y или минимальную стоимость остовного дерева;
– γ(x) обозначает вес кратчайшего пути от начальной вершины до вершины x или вес минимального остовного дерева, содержащего вершину x;
– δ(y) представляет собой вес кратчайшего пути от вершины y до конечной вершины или вес минимального остовного дерева, содержащего вершину y;
– m(x, y) описывает вес ребра, соединяющего вершины x и y.
Цель использования формулы D (x, y) = γ (x) + δ (y) – m (x, y) заключается в том, чтобы вычислить длину кратчайшего пути между вершинами x и y или минимальную стоимость остовного дерева, используя информацию о кратчайших путях до начальной вершины и от конечной вершины, а также вес ребра, соединяющего вершины x и y.
Применительно к графу, формула D (x, y) = γ (x) + δ (y) – m (x, y) позволяет нам определить длину кратчайшего пути между двумя вершинами x и y, путем суммирования весов кратчайших путей от начальной вершины до вершины x и от вершины y до конечной вершины, за вычетом веса ребра между вершинами x и y.
Описание каждого из компонентов формулы
Формула Дейкстры-Прима, D (x, y) = γ (x) + δ (y) – m (x, y), состоит из трех основных компонентов: γ (x), δ (y) и m (x, y). В этой части главы мы более подробно рассмотрим каждый из этих компонентов.
1. γ (x) – вес кратчайшего пути от начальной вершины до вершины x или вес минимального остовного дерева, содержащего вершину x. Этот компонент отображает полный вес пути от начальной вершины до вершины x, проходящего через другие вершины. Алгоритм Дейкстры позволяет находить кратчайшие пути от начальной вершины до всех остальных вершин в графе, и γ (x) представляет вес кратчайшего пути до конкретной вершины x.
2. δ (y) – вес кратчайшего пути от вершины y до конечной вершины или вес минимального остовного дерева, содержащего вершину y. Аналогично γ (x), δ (y) отражает полный вес пути от вершины y до конечной вершины, проходящего через другие вершины. Здесь алгоритм Дейкстры также может быть использован для нахождения кратчайших путей от всех вершин до конечной вершины, и δ (y) представляет вес кратчайшего пути от конкретной вершины y.