Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - страница 19

– длина мнимой полуоси гиперболы.

В качестве примера на рис. 1.3 представлены достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и , для коэффициентов корреляции , и .

Рис. 1.3. Достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и , для коэффициентов корреляции , и (зависимости 1, 2 и 3 соответственно)

Условия и ограничивают гиперболу точками, которые соответствуют портфелям с одним активом (, , , ) или (, , , ).

Анализ рис. 1.3 показывает, что достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива, при располагается на дуге гиперболы (кривая 1) и при – на дуге гиперболы (кривая 2).

Портфели, соответствующие вершинам гипербол и , обладают минимально возможными значениями СКО доходностей из достижимых множеств и соответственно, причём наименьшее СКО доходности имеет место при .

В частном случае, когда активы и представляют собой совокупности ценных бумаг одного и того же эмитента, но приобретённых по разной цене (по этой причине активы отличаются МО и СКО доходности), коэффициент корреляции доходностей активов равен единице, т.е. . Тогда выражение для СКО доходности портфеля преобразуется к виду

и достижимое множество вырождается в отрезок прямой (на рис. 1.3 прямая 3). Уравнение отрезка прямой имеет вид

где – тангенс угла наклона прямой; – свободный член линейной зависимости.

Координаты вершины гиперболы и соответствующие объёмы инвестирования в активы и можно определить и методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.

Принимая во внимание, что , преобразуем выражение для СКО доходности портфеля к виду

Для определения минимального значения СКО доходности актива приравняем к нулю производную

В результате решения данного уравнения получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы и , при которых достигается минимальное значение СКО доходности актива

После подстановки выражений (1.18) и (1.19) для и в соотношения (1.15) и (1.16) получаем формулы для расчёта минимального значения СКО доходности , а также соответствующего ему значения МО доходности . Как и следовало ожидать, минимальным значением СКО доходности обладает портфель , поскольку , а .

Таким образом, два рискованных актива и порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации располагается на дуге гиперболы , где точка является вершиной гиперболы.