Элементы комбинаторики и теории вероятностей - страница 2

Рис.2.3.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Пример 3. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество А, содержащее m элементов из m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

(2.1)

n! – n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n. n!=1*2*3*…*n. 0!=1.

Значит, ответ на выше поставленную задачу будет

В случае n=m (см. размещения без повторений) А из n элементов по m называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают P_>n.

P_>n=n!

Действительно при n=m:

(2.2)

Пример 4. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P_>6=6!=720

Пример 5. «Проказница Мартышка, Осел, Козел, Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет …Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, – погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите…

И так, и э так пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у них раздоры И споры, Кому и как сидеть…»

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

Решение

Здесь речь идет о перестановке из четырех элементов,

Значит, возможно, P_>4=4!=24 варианта перестановок.

Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.

Всякое множество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше числа вариантов размещений.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается.

(2.3).

Пример 6. У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.