Отныне числа предстают или могут предстать как нематериальные сущности, обладающие независимым или исключительно самозависимым бытием, со своими собственными свойствами и законами, связывающими их друг с другом, как если бы они были обитателями некой трансцендентной области, sui generis, далекой от обычных явлений пространственной фигуры, движения и материи; в то же время, будучи применимыми к измерению и вычислению этих явлений, они, по-видимому, вносят трансцендентный или чисто априорный элемент в науки, которые их рассматривают, а именно, в чистую геометрию и физические науки. С этой точки зрения можно сделать Числа объектом многих квазинаучных суеверий. В действительности же они обязаны как своей собственной природой, так и применимостью в геометрии и физических науках тому факту, что они берут свое начало в идеальном разделении временного континуума актами целенаправленного внимания. Воспринимаемый факт вечно делимой, но никогда не разделимой непрерывности, которой они обязаны своим происхождением, не утрачивается, а лишь трансформируется, когда они сами воспринимаются как образующие числовой, то есть дискретный, но неразделимый континуум единиц; в котором каждая единица, будучи сама континуумом, снова идеально делима на меньшие континуумы, или континуумы более низкого порядка по сравнению с исходным рядом целых чисел, а те снова на континуумы еще более низкого порядка, и так далее без заданного предела.
Теперь мы видим метафизическое обоснование тех элементарных утверждений о числе, с которых обычно начинаются арифметические трактаты. Я беру следующее из «Универсальной арифметики» Ньютона, «In usum Juventutis Academicoe»:
«Под числом мы понимаем не столько множество единств, сколько абстрактную пропорцию любого количества чего бы то ни было к другому количеству того же рода, которое принимается за единство. Число бывает трех видов: целое, дробное и избыточное. Целое число – это то, мерой которого является единица. Дробь – это число, мерой которого является подмногочисленная часть единства. Дробь – это то, что не может быть измерено единицей».8
Здесь можно задать вопрос, как, отбросив дроби, можно представить себе какое-либо число, не измеряемое единицей. Ответ, по-видимому, заключается в том, что Ньютон имеет здесь в виду числа, которые названы только общими терминами, то есть названы как воображаемые результаты, не осуществимые в действительности определенных процессов вычисления, которые, если предположить (jper impossibile), что они могут быть доведены до конца, дали бы определенные числа, соизмеримые с единством, как их результат. Теперь, поскольку алгебра – это та ветвь всей науки вычислений, которая основана на обобщении арифметических чисел и процессов, – каждое обобщение выражается некоторым символом, позволяющим использовать его в вычислениях, как если бы это было конкретное число или конкретный вид процесса, – а Ньютон рассматривает здесь элементы арифметики и алгебры в сочетании, мы должны предположить, что он имеет в виду главным образом алгебру, когда называет сурды третьим из трех высших видов, на которые делится все число.