Отступления от общего факта или закона непрерывности, подобные тем, которые я только что попытался подвергнуть критике, возникают, по-видимому, из-за попыток сформулировать концепции числа, времени, пространства и движения, которые могут соответствовать целям или, возможно, служить конечными основаниями наук исчисления, геометрии и физики, не прибегая к субъективному анализу опыта. Эти реальности воспринимаются по отдельности, каждая из них является объектом отдельной и независимой концепции. Но этот метод препятствует восприятию того факта, что, хотя непрерывность и делимость подразумевают и предполагают друг друга, тем не менее непрерывность и ее идеальное деление не находятся в одном ряду с точки зрения их основы в опыте. Непрерывность – это представление элементарного факта, данного во всех чувственных восприятиях. Ее идеальные деления вводятся актами целенаправленного внимания со стороны воспринимающего. Идеальная делимость, но не какое-либо конкретное идеальное деление, задействована в каждом представленном или репрезентируемом континууме. Поэтому единственными неделимыми в числе, времени, пространстве и движении являются деления в континуумах, а значит, и между ними, причем сами деления не являются континуумами по сравнению с тем, что они делят. Отсюда следует, что при введении идеальных делений в любой конечный континуум между последним делением, которое мы вводим, и границей конечного континуума, в который мы его вводим, всегда существует непрерывный остаток, который всегда больше 0 и всегда способен к дальнейшему идеальному делению. Идеальные деления, которые мы вводим, происходят per saltum; но это предполагает заданную непрерывность того, в который они вводятся, до их введения. Минутные континуумы между этими идеальными делениями, которые можно делать сколь угодно малыми (и сколь угодно многочисленными), – это так называемые инфинитезимальные, или «бесконечно малые», величины Исчисления. Мы мысленно проходим над ними per saltum, но они не могут быть пройдены per saltum никаким движением, которое мыслится как реальное. Движение, чтобы быть реальным, должно быть непрерывным. Ошибочно приписывать природе те деления, которые мы вводим в явления природы, чтобы вычислить или измерить их.
Бросив ретроспективный взгляд на сказанное, мы видим, что наука чистого вычисления имеет своим первым или непосредственным объектом материю, чистые или абстрактные Числа и их отношения между собой, рассматриваемые так, как если бы они были реальностью, обладающей свойствами, вступающей в отношения и подчиняющейся собственным законам; несмотря на то, что они являются созданиями актов счета, которые являются первыми шагами в науке вычисления, и что их свойства, отношения и законы могут быть открыты только путем продолжения и развития тех самых актов счета и вычисления, посредством которых они первоначально были образованы из восприятия мыслью. Числа, рассматриваемые таким образом, а именно как отделимые от действий, которые их производят, являются первым или непосредственным объектом науки чистого вычисления.