2. Предел линейной функции:
lim𝑥→𝑎(𝑚𝑥+𝑏)=𝑚𝑎+𝑏
где ( m ) и ( b ) – коэффициенты линейной функции.
3. Предел степенной функции:
lim𝑥→𝑎𝑥𝑛=𝑎𝑛
для любого целого ( n \geq 0 ).
4. Предел рациональной функции:
lim𝑥→𝑎𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)=𝑃(𝑎)𝑄(𝑎)
при условии, что знаменатель ( Q(a) \neq 0 ).
5. Предел экспоненциальной функции:
lim𝑥→𝑎𝑒𝑥=𝑒𝑎
6. Предел логарифмической функции:
для lim𝑥→𝑎ln(𝑥)=ln(𝑎),для 𝑎>0
7. Предел синуса и косинуса:
lim𝑥→0sin(𝑥)𝑥=1lim𝑥→0tan(𝑥)𝑥=1lim𝑥→01−cos(𝑥)𝑥2=12.
Эти замечательные пределы являются основой для более сложных вычислений и асимптотического анализа функций в математическом анализе.
В настоящем разделе в качестве замечательных пределов выбраны пять. Они были особенно популярны при решении математических задач и примеров в ходе занятий по высшей математике со студентами СПбГУКИ.
I. lim (n -> r бесконечности)(1 +1/n)^n = e, или lim (x -> r бесконечности) (1 +1/x)^x = e, или или lim (у -> 0) (1 +y)^(1/y) = e.
II. lim (x -> 0) sinx/x = 1.
III. lim (x -> 0) ln(1 +x)/x = 1.
IV. lim (x -> 0) (a^x – 1)/x = lna или, при a = e, lim (x -> 0) (e^x – 1)/x =1.
V. lim (x -> 0) ((1+x)^k – 1/x)/x = k, где k – любое вещественное число.
Кроме того, в этом разделе помещен справочный материал, без которого даже стоять на пороге математического анализа просто не рекомендуется.
Алгебра.
1. Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:
(a + b)^2 = a^2 +2ab +b^2
(a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2
(a + b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3
(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b +3ab^2 – b^3
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab +b^2)
a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 – ab +b^2)
ax^2 + bx + c =a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax^2 + bx + c.
2. Степени и корни.
Для любых натуральных p и q;
(a^p)*(a^q) = a^(p+q); a^p/a^q = a^(p – q) a =/ 0;
(a^p)^q = a^(pq); a^p/b^p = (a/b)^p b =/ 0;
(a^p)*(a^p) = (ab)^p; a^0 = 1 a =/ 0;
a^(– p) = 1/a^p a =/ 0; a^(1/p) = корень степени р от a;
(a^p)^(1/q) = a^(p/q); [a^(1/q)]^(1/p) = a^(1/pq);
(ab)^1/p = (a^1/p)* (b^1/p); (a/b)^1/p = (a^1/p)/(b^1/p) b =/ 0.
3. Квадратные уравнения.
ax^2 + bx + c, a =/ 0, где x1 и x2 – корни этого уравнения, могут быть определены с помощью:
x1, 2 = (– b + – D^1/2)/2a, где D = b^2- 4ac;
если D > 0, то x1=/x2;
если D = 0, то x1=x2;
если D < 0, то корней нет.
Теорема Виета:
x1+ x2 = – b/a; x1*x2 = c/a
Приведенное квадратное уравнение: