4. Многомасштабный анализ:
– Вейвлет-преобразование позволяет анализировать данные на различных уровнях разрешения, что помогает выявлять как глобальные, так и локальные тренды.
Таким образом, цель книги – продемонстрировать, как вейвлет Морле может преодолеть ограничения традиционных методов анализа и предоставить более глубокое понимание сложных и нестационарных данных, таких как криптовалютные временные ряды.
Часть I: Теоретические основы
Основы вейвлет-анализа
Вейвлет-анализ представляет собой мощный инструмент для анализа сигналов и временных рядов, который позволяет изучать данные как в частотной, так и во временной области. Это делает его особенно полезным для работы с нестационарными сигналами, которые часто встречаются в реальных данных.
1.1. Что такое вейвлеты? Краткая история и ключевые понятия
Определение вейвлетов:
Вейвлеты – это математические функции, которые интегрируются в ноль, локализованы во времени и частоте, и используются для представления данных или функций. В отличие от синусоидальных волн, используемых в Фурье-анализе, вейвлеты могут иметь различные формы и масштабы, что позволяет им адаптироваться к различным особенностям сигнала.
Краткая история:
– 1910: Альфред Хаар ввел первую ортогональную систему функций, известную как вейвлеты Хаара, но их значение не было полностью осознано до 1980-х годов.
– 1980-е: Жан Морле и Алекс Гроссман разработали концепцию вейвлет-преобразования, которая стала основой для современного вейвлет-анализа.
– 1988: Ингрид Добеши предложила ортогональные вейвлеты с компактным носителем, что сделало вейвлет-анализ более практичным и применимым к различным задачам.
Ключевые понятия:
1. Материнский вейвлет:
– Это базовая функция, из которой путем сдвига и масштабирования получаются все остальные вейвлеты. Примеры включают вейвлет Хаара, Морле и Добеши.
2. Вейвлет-преобразование:
– Процесс разложения сигнала на вейвлеты. Существует два основных типа: непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) и дискретное вейвлет-преобразование (DWT).
3. Многомасштабный анализ:
– Вейвлет-анализ позволяет рассматривать сигнал на различных уровнях разрешения, что помогает выявлять как глобальные, так и локальные особенности.
4. Аппроксимация и детали:
– Вейвлет-разложение представляет сигнал в виде аппроксимации (низкочастотной компоненты) и деталей (высокочастотных компонент) на различных уровнях.