Эта формула показывает, что момент импульса вихря принимает только дискретные значения, зависящие от квантового числа nn. Это означает, что вихри могут существовать в определенных энергетических состояниях, аналогичных квантованию энергии в атомах.
Волновая функция вихрей
Вихри описываются волновой функцией Ψ(r,t)Ψ(r,t), которая представляется в виде суммы вкладов отдельных вихрей:
Ψ(r,t)=∑n=1Nρnei(θn+ϕn(r,t))
где:
ρn – амплитуда n-го вихря,
θn – фаза n-го вихря,
ϕn(r,t) – фазовая функция, зависящая от координат и времени,
N – общее количество вихрей.
Эта волновая функция отражает фазовую когерентность вихрей, что важно для понимания их коллективного поведения.
Основное уравнение вихревой динамики
Центральное уравнение, описывающее динамику вихрей, выглядит следующим образом:
iℏv∂Ψ∂t=−ℏv22mv∇2Ψ+Vv(r,t)Ψ+gv∣Ψ∣2Ψ
где:
ℏv=hv2π – редуцированная вихревая постоянная,
mv – эффективная масса вихря,
Vv(r,t) – вихревой потенциал,
gv – параметр вихревого взаимодействия,
∣Ψ∣2∣ – вероятность нахождения вихря в определенной точке пространства.
Ключевые безразмерные параметры
– Число квантования Q=v⋅dνq(νq=hv/mv)
– Параметр когерентности κ=λvd(λv−длина когерентности)
Это уравнение является аналогом уравнения Шредингера для квантовых систем, адаптированного для описания вихревых потоков.
Обобщённое вихревое уравнение
Для описания вихревой динамики вводится обобщённое вихревое уравнение:
∇×(ρv)=n⋅μh⋅exp(−λr)
Где:
∇×(ρv)– вихревая плотность импульса;
n – квантовое число вихря, определяющее топологическую ступень закрутки (1, 2, 3…);
h – масштабированная (адаптированная) постоянная Планка для макросред (h∗≈10−9 Дж·с);
μ – вихревая вязкость среды (внутренний коэффициент согласования между вихрями);
λ – длина когерентности вихревого жгута (радиус фазовой корреляции);
r – расстояние от центра вихревой структуры.
Интерпретация:
Ключевая величина – ∇ × (ρv) – это оператор ротора (векторное вращение) от импульса потока. Если поток полностью линейный и без завихрений, значение ротора нулевое – ∇ × (ρv) = 0, а значит, QVS-гипотеза просто не работает – в нём нет объекта для действия.
Следовательно, QVS-гипотеза работает только в присутствии завихрённых (вихревых, крутящихся) потоков.
В уравнении левая часть – описание текущей завихренности потока – как локальный вихревой момент.