∫dE=∫F*dR=∫ (M1*M2*G/R^2) *dR= -M1*M2*G*∫d (1/R)
Откуда получается
E=-M1*M2*G*/R [2]
Здесь знак минус означает, что энергия выделилась а не поглотилась, и потому о нём далее можно просто забыть.
А теперь с помощью этой формулы решаем другую задачу – сколько энергии выделится в процессе гравитационного сжатия облака газа из бесконечности до состояния идеального шара радиусом R и постоянной плотностью по всему его объёму ρ. Для этого вводим функцию – E (r) = энергия выделившаяся при сжатии только части газа, до достижения шара требуемой плотности ρ и размера r. Тогда, если мы уже сжали часть газа до этого размера, и добавляем малую порцию вещества, до размера r+dr, то по выведенной формуле [2], помня о формулах объёма V и площади поверхности S шара, получаем
dE=E (r+dr) -E (r) =M (r) * (dV*ρ) *G/r
где M (r) =4/3*π*r^3*ρ и dV=S (r) *dr=4*π*r^2*dr
И таким образом на выходе имеем
dE= (4/3*π*r^3*ρ) * (4*π*r^2*dr*ρ) *G/r = 16/3*π^2*ρ^2*G *r^4*dr
Откуда интегрированием получаем
E (r) = 16/3*π^2*ρ^2*G *r^5/5
Теперь для упрощения формулы вспоминаем, что M (r) =4/3*π*r^3*ρ, и после преобразования формулы получаем
E (r) = (3/5) *M (r) ^2*G/r
Теперь нам остаётся только «забыть» о том, что мы считали функции от радиуса только для промежуточных действий, и получить формулу выделившейся окончательно энергии
E= (3/5) * (M^2) *G/R [3]
Эти вычисления мы проводили не просто так, а с целью оценить – сколько гравитационной энергии выделилось при сжатии газа до состояния нынешнего Солнца, подразумевая под ним хотя бы шар равномерной плотности около 1.4, без внутреннего ядра, плотность которого доходит до 20 (по некоторым источникам – до 150) единиц. Подставляем все значения M=2*10^30кг, R=7*10^8м, G=6.67*10^-11, и получаем E=2.5*10^41Дж! Просто огромная прорва энергии, свыше 10^11 Дж/кг, одной тысячной её части хватит на то, чтобы разогреть вещество облака на тысячи градусов, что гарантирует повышение внутреннего давления останавливающее самостоятельное дальнейшее сжатие облака газа до его охлаждения. А если вспомнить, что у Солнца всё же есть внутреннее ядро радиусом порядка 150тыс. км (20—25% радиуса всей звезды), из за того что внутренние слои сжаты огромным давлением до гигантских плотностей (водородно-гелиевая смесь сжата минимум до плотности платины), то эта энергия ещё должна быть минимум удвоена. Вспоминаем, что мощность Солнца составляет 3*10^26Вт, то есть за год высвечивается около 10^34 Дж/год, и в результате получаем такой ответ – при образовании нашего Солнца, вследствие гравитационного сжатия выделилась энергия, эквивалентная нынешней светимости Солнца за отрезок от 25 до 50 миллионов лет!